宜昌市2015届高三年级第一次调研考试
数学（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2、给出如下四个命题；
①若“ 且 ”为假命题，则 均为假命题；
②命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
③“ ”的否定是“ ”
④在 中，“ ”是“ ”的充要条件。
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
3、设 是首项为 ，公差为-1的等差数列， 为前n项和，若 成等比数列，则 （ ）
A．2 B．-2 C． D．
4、下列命题正确的是（ ）
A．直线 与平面 不平行，则 与平面 内的所有直线都不平行；
B．直线 与平面 不垂直，则 与平面 内的所有直线凑不垂直；
C．异面直线 不垂直，则过 的任何平面与 都不垂直；
D．直线 与 共面，直线 和 共面，则 和 共面。
5、变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A．-7 B．-4 C．1 D．2
6、右图为一个几何体的侧视图这俯视图，若该几何体的体积为 ，
则它的正视图为（ ）
7、在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则
A． B． C． D．
8、如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC CO，AC与BO交于点E，
某函数 的图象经过点E、B，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
9、设 是双曲线 的左右焦点，A是其右支上一点，连接 交双曲线左支于点B，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10、由无理数引发的数学危机已知延续到19世纪，知道1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M N=Q，M N= ，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割，试判断，对于任一戴德金分割 ，下列选项不可能成了的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有没有元素
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
（一）必考题（11-14题）
11、已知平面向量 ，若 ，则
12、已知 ，则 的最小值是
13、如图，一桥梁的形状为抛物线，该抛物线拱的高为 ，
宽为 ，则该抛物线拱的面积为
14、若以曲线 上任意一点 为切点的切线 ，曲线上总存在异于M的点 ，以点N为切点作切线 ，且 ，则称曲线 具有“可平行性”，现由下列命题：
①偶函数的图象都具有“可平行性”；
②函数 的图象具有“可平行性”；
③三次函数 具有“可平行性”，且对应的两切点 ， 的横坐标满足 ；
④要使得分段函数 的图象具有“可平行性”，当且仅当实数 。
其中的命题是 （写出所有真命题的序号）
15、若抛物线 上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则 的值
为
16、如图，两高速公路垂直相交于站A，若已知 千米，甲汽车从A站出发，沿AC方向过50千米/小时的速度行驶，同时乙汽车从B站出发，沿BA方向以 千米/小时的速度行驶，要A站即停止前行（甲车仍然行驶）（两车的车长忽略不计）
（1）甲乙两车的最近距离为 （用含 的式子表示）；
（2）若甲乙两车从开始行驶到甲乙两车相距最近时所用时同为 小时，则当 为 时 最大。
17、定义域为R的偶函数 满足对 ，有 ，且当 时，
若函数 在 上至少有三个零点，则 的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18、（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数 的单调增区间；
（2）在 中， 分别是角 的对边，已知 ，求角C。
19、（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形， BAD ，已知PB=PD=2PA=
（1）证明：PC BD;
（2）若E为PA的中点，求三棱锥E-ABC的体积。
20、（本小题满分12分）
等差数列 的前n项和为 ，已知 为整数，当且仅当 时， 取得最大值
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和
21、（本小题满分14分）
已知函数 过坐标原点，且在 处的切线方程为 。
（1）求 的解析式；
（2）设 ，求 的最大值及相应的x的值；
（3）对于任意正数 ，恒有 ，求实数m的取值范围。
22、（本小题满分13分）
在平面直角坐标系 中，已知曲线 上任意一点到点 的距离之和为
（1）求曲线 的方程；
（2）设椭圆 ，若斜率为 的直线OM交椭圆 于点M，垂直于OM的直线ON交曲线 于点N。
①求证： 的最小值为 ；
②问：是否存在以过圆心且与直线MN相切的定圆？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由。
一、选择题： CBDCA ACBDC
二、填空题：
11. ； 12. ； 13. ； 14. 或 ； 15. 或 ；
16.( 1) ；（2） 千米/小时； 17.
注：第11题、14题、15题见错均为0分；第16题第一空2分，第二空3分。
三、解答题：
18．解： 4分
（1）由 得
∴函数 的单调递增区间为 6分
（2）
∵ ∴ ∴ 即 8分
由正弦定理得
又 ∴ ∴ 10分
故 12分
19. 解：（1）证明：连接 交于 点 1分
2分
又 是菱形
3分
而
⊥面 5分
⊥ 6分
(2) 由（1） ⊥面 7分
9分
12分
20．解：（1）由题意知， ， 2分
即 4分
又 为整数 ∴ ∴ ∴ 6分
故 7分
（2） 8分
两式相减得
∴ 13分
注：第（1）题若直接由 得 扣2分！
21．解：（1）∵函数 过坐标原点，∴ ，
∴ ， 1分
由函数 在 处的切线方程为 知
且 3分
解得 ，
∴ 4分
（2）
∵ 5分
∴当 时， 单调递增；当 时 单调递减。 6分
∴当 时， 有最大值，且 8分
（3） 时，不等式 恒成立， 9分
令 ，则 10分
∴ 12分
∴ 14分
22．解：（1）由椭圆定义可知曲线 的轨迹是椭圆，设 的方程为
则 ， 则 故 的方程为 3分
（2）①证明：当 时， 为 长轴端点，则 为 短轴端点， 4分
当 时，设直线 代入
整理得 即
∴ 6分
又由已知 ，可设 ，同理可得 7分
∴
则 8分
∴ 的最小值为 9分
② 存在以原点为圆心且与直线 相切的定圆 10分
设 斜边上的高为 ，由①当 时， 11分
当 时， ， ，
∴ 13分
故存在满足题意的定圆，其方程为 14分
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