房山区2015年高三第一次模拟试题
高三数学(文科)
考
生
须知 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I卷 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.
1．已知全集 ，集合 ，则 =（ ）
A．
B．
C．
D．
2．双曲线 的渐近线方程是( )
A．
B．
C．
D．
3．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B．
C．
D．
4．设 ,则 “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C. 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
5．在△ 中，角 所对的边分别为 且 ， ，则 等于 ( )
A．
B．
C．
D．
6．在同一个坐标系中画出函数 的部分图象，其中 ，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
7．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．一个人骑车以 米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车 米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻 的速度 米/秒，那么此人（ ）
A．可在 秒内追上汽车
B．不能追上汽车,但其间最近距离为16米
C．不能追上汽车,但其间最近距离为 米
D．不能追上汽车,但其间最近距离为 米
第II卷 非选择题(共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡指定位置.
9. 若复数 ，（ ）是纯虚数，复数 在复平面内对应的点的坐标为_____．
10．连续抛两枚骰子分别得到的点数是 ， ，设向量 ，
向量 ，则 的概率是_____．
11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_____．
12．已知函数 则 ____；若 ，则实数 的取值范围是_____．
13．已知命题 ＜ .若 是真命题，则实数 的取值范围是_____．
14. 实数 满足 ，若 恒成立，则实数 的最大值是_____．
三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知数列 中，点 在直线 上，且首项 是方程 的整数解.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）数列 的前 项和为 ，等比数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，当 时，请直接写出 的值.
16.（本小题共13分）
已知函数 的图象的一部分如图所示．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）当 时，求函数 的最大值与最小值及相应的x的值．
17.（本小题共13分）
教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题。某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度，从 四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查，每个区域选出的人数如条形图所示.为了了解学生家长的满意程度，对每位家长都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取 份进行统计，统计结果如下面表格所示：
满意 一般 不满意
区域
50% 25% 25%
区域
80% 0 20%
区域
50% 50% 0
区域
40% 20% 40%
（Ⅰ）若家长甲来自 区域，求家长甲的调查问卷被选中的概率；
（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出
人进行面谈，求这 人中至少有一人来自 区域的概率.
18.（本小题共14分）
如图，四棱锥 中，侧面 ⊥底面 ,底面 是直角梯形，
∥ ， ， ,△ 是正三角形， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 .
19.（本小题共13分）
已知函数 ， 是常数， R．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线 的方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（III）证明:函数 的图象在直线 的下方．
20.（本小题共14分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ， 是椭圆上的任意一点，且点 到椭圆左右焦点 ， 的距离和为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）经过点 且互相垂直的直线 、 分别与椭圆交于 、 和 、 两点（ 、 、 、 都不与椭圆的顶点重合）， 、 分别是线段 、 的中点， 为坐标原点，若 、 分别是直线 、 的斜率，求证： 为定值．
房山区2015年高三第一次模拟试题
高三数学(文科)
参考答案
一、选择题（每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C A B D B D
二、填空题（每题5分，共30分）
9． ; 10. ; 11. ； 12. ， ; 13. 14.
三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分）
15.（本小题共13分）
解：（I）根据已知 ， 即 ， ………………2分
所以数列 是一个等差数列， ………………4分
（II）数列 的前 项和 ………………6分
等比数列 中， ， ，所以 ， ……………9分
数列 的前 项和 ……………11分
即 ，又 ，所以 或2 ……………13分
16．（本小题共13分）
解：(I)由图象知A＝2，T＝8＝2πω，
∴ω＝π4，得f(x)＝2sinπ4x＋φ.
由π4×1＋φ＝2kπ＋π2⇒φ＝2kπ＋π4，
又|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sinπ4x＋π4 ……………6分
(II)y＝2sinπ4x＋π4
∵x∈ ，
∴ ，
∴当 ，即 时 取得最大值为
当 ，即 时 取得最大值为 ……………13分
17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由条形图可得，来自A，B，C，D四个区域的家长共有200人， ……………1分
其中来自A区域的家长为40人， ……………2分
由分层抽样可得从A区域的家长问卷中抽取了 份. ……………4分
设事件 =“家长甲被选中进行问卷调查”， ……………5分
则 . ……………6分
(II) 由图表可知，来自A，B，C，D四区域的家长分别接受调查的人数为4，5，6，5.
其中不满意的家长人数分别为1，1，0，2个 . ………7分
记来自A区域不满意的家长是a；来自B区域不满意的家长是b；
来自D区域不满意的家长是c，d. ………8分
设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D” …………9分
从填写不满意的学生中选出2人，共有
(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件， ……10分
而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ………11分
故 . ………13分
18.（本小题共14分）
证明：（I）设 为 的中点,连结 ，
∵ 为 的中点
∴ ∥ ，
∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ∥ ………6分
又 平面 ， 平面
∴ ∥平面
(II)∵ ∥ ，
∴ ⊥
又侧面 ⊥底面 ，侧面 底面 , 平面
∴ ⊥平面 ,又 平面
∴ ⊥
∵△ 是正三角形， 为 的中点
∴ ⊥
又 , 平面 , 平面
∴ ⊥平面
∵ ∥
∴ ⊥平面 …………………14分
19.（本小题共13分）
解：（Ⅰ） …………………2分
， ，所以切线 的方程为
，即 ． …………………4分
（Ⅱ） 定义域为
（1）当 时， ， 在 为增函数
（2）当 时，
令 得， 或
①当 时， 在 为增函数
②当 时， 在 上是增数，在 是减函数 …………………9分
（Ⅲ）令 则
↗ 最大值 ↘
，所以 且 ， ， ，
即函数 的图像在直线 的下方． ……………13分
20.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）∵点 到椭圆左右焦点的距离和为4.
∴ ， .
又 ，∴ ， .
∴椭圆 的标准方程为： …………………5分
（Ⅱ）∵直线 、 经过点 且互相垂直，又 、 、 、 都不与椭圆的顶点重合
∴设 ： ， ： ；点 、 、 、
由
∵点 在椭圆内，∴△
∴ ，
∴ ，
∴
同理
∴ …………………14分
点击下载：北京市房山区2015年高三第一次模拟考试数学文试题
