本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．
祝各位考生考试顺利！
第 Ⅰ 卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．
参考公式：
•如果事件A，B互斥，那么 •如果事件A，B相互独立，那么
P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A)•P(B)．
•棱柱的体积公式V柱体=Sh， •球的体积公式V球= R3，
其中S表示棱柱的底面积， 其中R表示球的半径．
h表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）i是虚数单位，复数 =（ ）．
（A）–i （B）i
（C）– – i （D）– + i
（2）已知实数x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x–2y的最小值是（ ）．
（A）0 （B）–6
（C）–8 （D）–12
（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x(A∩B)， 条件q：x(A∪B)，则p是q的（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）充要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x– y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（ ）．
（A）4x2–12y2=1 （B）4x2– y2=1
（C）12x2–4y2=1 （D） x2–4y2=1
（5）函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是（ ）．
（A）(0，–2] （B）[–2，+∞)
（C）(–∞，–2] （D）[2，+∞)
（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三
视图，则此棱锥的体积为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
（7）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A= ，则内角C=（ ）．
（A） （B）
（C） （D） 或
（8）已知函数f(x)=|mx|–|x–n|（ 0＜n＜1+m），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（ ）．
（A）3＜m＜6 （B）1＜m＜3
（C）0＜m＜1 （D）–1＜m＜0
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）
答 题 纸（理工类）
题 号 二[来源:学#科#网] 三 总分[来源:学科网ZXXK]
(15) (16) (17) (18) (19) (20)
得 分
第 Ⅱ 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；
2．本卷共12小题，共110分．
得 分 评卷人 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为 ．
（10）已知a＞0，(x– )6的二项展开式中，常数项等于60，则(x– )6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）．
（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= ．
（12）已知在平 面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为： （为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为： cos–sin=0，则圆C截直线l所得弦长为 ．
（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于 A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2 ，PO=8．则BD的长为 ．
（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且 = ， = ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则 • = ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
得 分 评卷人 （15）（本小题满分13分）
设函数f(x)=cos(2x+ )+2cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到函数g(x)的图 象，求函数g(x)在区间 上的最小值．
得 分 评卷人 （16）（本小题满分1 3分）
将编号为1，2，3，4的4个小球 随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．
（Ⅰ）求编号为1， 2的小球同时放到A盒的概率；
（Ⅱ）设随机变量为放入A盒的小球的个数，求的分布列与数学期望．
得 分 评卷人 （17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，
PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为 ，求直线
PA与平面EAC所成角的正弦值．
得 分 评卷人 （18）（本小题满分13分）
已知椭圆C： （a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为 b．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．
得 分 评卷人 （19）（本小题满分14分）
设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有 + +…+ ＜ ．
得 分 评卷人 （20）（本小题满分14分）
已知函数f(x)= ，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0．
其中e =2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）如果当x≠0时，f(2x)＜ ，求实数k的取值范围．
南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）
数学试卷（理工类）参考答案 2015.04
一、选择题：
题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）
答 案 A C C D B A B B
二、填空题：
（9）60； （10）1； （11）2500；
（12）2 ； （13）2 ； （14）0
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=cos(2(x– )+ )+1=cos(2x– )+1． …………10分
因为0≤x≤ ，
所以– ≤2x– ≤ ，
所以– ≤cos(2x– )≤1， …………12分
因此 ≤cos(2x– )+1≤2，即f(x)的取值范围为[ ，2]． …………13分
（16）解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，
P= = ． …………4分
（Ⅱ）=1，2， ………… 5分
P(=1)= = ，
P(=2)= = ，
1 2
P
所以的分布列为
…………11分
的数学期望E()=1× +2× = ． …………13分
（17）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC= ．
∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC． …………5分
（Ⅱ）如图，以点C为原点， ， ， 分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．
设P(0，0，2a)（a＞ 0），则E(1，–1，a)， =(2，2，0)， ＝(0，0，2a)， =(1，–1，a)．
取m=(1，–1，0)，则m• =m• =0，m为面PAC的法向量．
设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n• =n• =0，
即 ，取x=a，y=–a，z=–2，则n=(a，–a，–2)，
依题意，|cos<m，n>|= = = ，则a=2． …………10分
于是n=(2，–2，–2)， =(2，2，–4)．
设直线PA与平面EAC所成角为，
则sin=|cos< ，n>|= = ，
即直线PA与平面EAC所成角的正 弦值为 ． …………13分
（18）解：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc= ab，
∴椭圆C的离心率e= = ． …………3分
（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2 ，∴椭圆方程为 ． …………5分
联立方程组
化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，
由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞
由韦达定理得：xM+xN= …①，xMxN= …② …………7分
设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，
MB方程为：y= x–2，……③
NA方程为：y= x+2，……④ …………9分
由③④解得：y= …………11分
= = =1
即yG=1，
∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上． …………13分
（19）解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为an=3n–1． ………… 2分
∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，
∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1． ………… 3分
∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，
∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，
∴通项公式为bn=2n–1． …………5分
（Ⅱ）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1， ………… 6分
Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①
2Tn= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ……②
①–②得：–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n
=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2． ………… 10分
（Ⅲ） = = = ≤
+ +…+
＜ + +…+ =
= (1– )＜ ． …………14分
（20）解：（Ⅰ）f¢(x)= ， ………1分
由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0，
知1+(e–1)2 f(1)–e=0，即f(1)= = ，
f¢(1)= = =– ． ………3分
解得a=b=1． ………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)= ，
所以f(2x)＜ ＜ – ＜0
[xex– (e2x–1)]＜0． ………7分
令函数g(x)=xex– (e2x–1)（x∈R），
则g¢(x)=ex+xex–(1–k)e2x=ex(1+x–(1–k)ex)． ………8分
（ⅰ）设k≤0，当x≠0时，g¢(x)＜0，∴g(x)在R单调递减．而g(0)=0，
故当x∈(–∞，0)时，g(x)＞0，可得 g(x)＜0；
当x∈(0，+∞)时，g(x)＜0，可得 g(x)＜0，
从而x≠0时，f(2x)＜ ．
（ⅱ）设k≥1，存在x0＜0，当x∈(x0，+∞)时，g¢(x)＞0，g(x)在(x0，+∞)单调递增．
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