江西省师大附中、鹰潭一中2015届高三下学期4月联考试题
理科数学
2015.4
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．设集合 ，集合 ，则 等于
A． (1,2) B． (1,2] C． [1,2) D． [1,2]
2．下面是关于复数 的四个命题: : ， ， 的共轭复数为
， 的虚部为 ，其中真命题为
A． B． C． D．
3．下列四个结论：①若 ，则 恒成立；
②命题“若 ”的逆命题为“若 ”；
③“命题 为真”是“命题 为真”的充分不必要条件；
④命题“ ”的否定是“ ”．
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形
边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是
A． B．
C． D．
5．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为
A．7 B．9 C．10 D．11
6．已知实数 满足 ，若目标函数 的最大值为 ，
最小值为 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
7．对于函数 ，下列说法正确的是
A． 是奇函数且在（ ）上递增 B． 是奇函数且在（ ）上递减
C． 是偶函数且在（ ）上递增 D． 是偶函数且在（ ）上递减
8．定义：在数列 中，若满足 （ ，d 为常数），称 为“等
差比数列”。已知在“等差比数列” 中， 则
A． B． C． D．
9．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”；已知 在 上为“凸函数”，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
10．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有
A．80 种 B．70 种 C．40 种 D．10种
11．已知椭圆C: 的左右焦点为 ，若椭圆C上恰好有6个
不同的点 ，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
12. 已知实数 满足 其中 是自然对数的底数 , 则
的最小值为
A．8 B．10 C．12 D．18
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.已知向量 ＝(1，3)， ＝(3，m)．若向量 在 方向上的投影为3，则实数m＝
14.已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为
15．对于集合 ，定义：
的“正弦方差”，则集合 的“正弦方差”为 。
16．已知动点P在棱长为1的正方体 的表面上运动，且 ，记点P的轨迹长度为 .给出以下四个命题：
① ；
② ；
③
④函数 在 上是增函数， 在 上是减函数。
其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足b2＋c2＝bc＋a2.
（1）求角A的大小；
（2）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA＝1，且a2，a4， a8成等比数列，求{4anan＋1}的前n项和Sn.
18.（本小题满分12分）
某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了l20份问巻。对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2 x2列联表:
做不到光盘 能做到光盘 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为 ，试求随机变量 的分布列和数学期望
（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由。
附：独立性检验统计量K2= , 其中 ，
独立性检验临界表：
P(K2 k0)
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k0 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024
19．（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面 平面 ， 与 是边长为 的等边三角形， ， 和平面 所成的角为 ，且点 在平面 上的射影落在 的平分线上．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为M，N，|MN|＝423．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 （其中 O为坐标原点）．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；
②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
21．（本小题满分12分）
设函数 ，其中 和 是实数，曲线 恒与 轴相切于坐标原点．
（1）求常数 的值；
（2）当 时，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证：对于任意的正整数 ，不等式 恒成立.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示, 为圆 的切线, 为切点, ， 的角平分线与 和圆 分别交于点 和 ．
（1）求证
（2）求 的值．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，圆 的参数方程 为参数）．以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长．
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B A B A D C D C D A
二、填空题
13．3 ； 14. ； 15. ； 16. ①④
三、解答题
17.解： (1)∵b2＋c2－a2＝bc， ∴b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12. ∴cosA＝12.
又A∈(0，π)，∴A＝π3. …………… 5分
(2)设{an}的公差为d， 由已知得a1＝1cosA＝2，且a24＝a2•a8.
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)( a1＋7d)． 又d不为零，∴d＝2. …………… 9分
∴an＝2n. …………… 10分
∴4anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1. …………… 11
∴Sn＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1.…………… 12分
18. 解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘。……………………2分
………………………………………………………………………………………………6分
所以 ……………………8分
（2） …………10分
因为 ,所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即精确的值应为 ………………………………12分
19. 解：（1）由题意知， ， 都是边长为2的等边三角形，取 中点 ，连接 ，则 ， ，……………………2分
又∵平面 ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ，作 ⊥平面 ，
那么 ，根据题意，点 落在 上，
∴ ，易求得 ，…………4分
∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ 平面 …………6分
（2）解法一：作 ，垂足为 ，连接 ，
∵ ⊥平面 ，∴ ，又 ，
∴ 平面 ，∴ ，∴ 就是二面角 的平面角．…………9分
中， ， ， ．
∴ ．即二面角 的余弦值为 .………12分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 ，可知平面 的一个法向量为
设平面 的一个法向量为
则， 可求得 ．………………9分
所以 ，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角 的余弦值为 ．……12分
20.解：（1）由已知得K(－ p 2，0)，C(2，0)．
设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|＝223．
由 得： 或 （舍去），
即 ，所以直线AB过定点 ；…………………7分
(ⅱ)由(ⅰ)得 ，
同理得，
则四边形AGBD面积
令 ，则 是关于 的增函数，
故 .当且仅当 时取到最小值88 …………………12分
21. 解：(1) 对 求导得： ，根据条件知 ，所以 . ……………2分
(2) 由(1)得 ，
.
① 当 时，由于 ，有 ，于是 在 上单调递增，从而 ，因此 在 上单调递增，即 而且仅有 ；
②当 时，由于 ，有 ，于是 在 上单调递减，从而 ，因此 在 上单调递减，即 而且仅有 ；
③当 时，令 ，当 时， ，于是 在 上单调递减，从而 ，因此 在 上单调递减，
即 而且仅有 .
综上可知，所求实数 的取值范围是 . ……………8分
(3) 对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数 ，不等式 恒成立. 并且继续作如下等价变形
对于 相当于（2）中 ，情形，有 在 上单调递减，即 而且仅有 .
取 ，得：对于任意正整数 都有 成立；
对于 相当于（2）中 情形，对于任意 ，恒有 而且仅有 .
取 ，得：对于任意正整数 都有 成立.
因此对于任意正整数 ，不等式 恒成立 ……………12分
，则 ，
∴ . ------ ------10分
23．解：圆 的普通方程为 ，又
所以圆 的极坐标方程为 …………… 5分
设 ，则有 解得
设 ，则有 解得
所以 …………… 10分
24.解：（1）当x < -2时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ ；
当 时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ ；
当 时， ，
，即 ，解得 ，又 ，∴ . ……3分
综上，不等式 的解集为 . ……5分
（2）
∴ . ……8分
∵ ，使得 ，∴ ，
整理得： ，解得： ，
因此m的取值范围是 . ……10分
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