江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（三）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．若集合 ， ，那么 ( )
A． B． C． D．
2．设 是实数，若复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 上，则 的值为( )
A． B．0 C．1 D．2
3.已知m，n是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若 B.若
C.若 D.若
4.将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
5．定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 在区间 内是（ ）
A．减函数且 B．减函数且 C．增函数且 D．增函数且
6．下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.
（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变.
（3）对于命题 则 .
（4）命题“在 中，若 则 为等腰三角形”的否命题为真命题.
A. 4 B. 3 C .2 D. 1
7．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果 ，那么抛物线C的方程为( )
A. B. C. D.
8．若从区间 内随机取两个数，则这两个数之积不小于 的概率为（ ）
A． B. C. D.
9．阅读如图所示的程序框图,若输入 的值为二项
式 展开式的常数项,则输出的 值是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数 在 上单调递增，
那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
过 作圆 的切线分别交双曲线的左、右两支于
点 、 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．某几何体三视图如图 (单位：cm)，
则该几何体的外接球表面积是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 ；
14．在小语种自主招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中韩语2名，日语2名，俄语1名．
并且日语和韩语都要求必须有女生参加．学校通过选拔定下3女2男共5个推荐对象，
则不同的推荐方法共有 种；
15.过 的光线经 轴上点 反射后，经过不等式组 所表示的区域，则 的取值范围 ；
16．数列 中， ， ， 是 的个位数字， 是 的前 项和，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．(本题满分12分)
为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：8.3, 9.0, 7.9, 7.8, 9.4, 8.9, 8.4, 8.3
乙：9.2, 9.5, 8.0, 7.5, 8.2, 8.1, 9.0, 8.5
(Ⅰ)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；并简要说明选派哪一位选手参加奥运会封闭集训更合理？
(Ⅱ)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
19．(本题满分12分)．
如图（1），在边长为2的正方形 中， 是边 的中点.将 沿 折起使得平面 平面 ，如图（2）， 是折叠后 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴相交于两点 （点 在点 的左侧），且 ．
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）过点 任作一条直线与椭圆 相交于两点
，连接 ，求证： ．
21．(本题满分12分)
已知函数 ， ，令 。
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知 与⊙ 相切， 为切点，过点 的割线交圆于 两点，弦 ， 相交于点 ， 为 上一点，且 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，求 的长．
23．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线 的参数方程为 ( 为参数， )，曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线 相交于 、 两点，当 变化时，求 的最小值．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若二次函数 与函数 的图象恒有公共点，求实数 的取值范围.
2015届高三理科数学复习试题参考答案
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：
时,
由正弦函数图象可知,当 时 取得最大值
所以 , …………8分
由余弦定理， ∴ ∴ ………10分
从而 ………12分
18 . 解： (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：
---------------3分
(2)因为x甲＝x乙＝8.5，又s2甲＝0.27，s2乙＝0.405，
得s2甲＜s2乙，相对讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．-----------6分
(3)依题意得乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B(3，12)．
所以P(ξ＝k)＝Ck3(12)3－k(1－12)k＝Ck3(12)3，-------------------------9分
k＝0,1,2,3.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 18
38
38
18
∴E(ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.--------------------------------12分
19．【解析】(Ⅰ) 证明：取AD中点G，连结EG，FG，
∵F为AC中点，
∴
∴ ，从而四边形EBFG是平行四边形…………………3分
∴BF//EG
又 平面ADE， 平面ADE
∴EG//平面ADE．……………………………………5分
(Ⅱ) 如图示以E为坐标原点，建立空间直角坐标系
则A ，B（1，0，0），D（ ，2，0）
设平面EAB的法向量为
则
解得一个法向量为 ……………………………………8分
设平面ABD的法向量为
则
解得一个法向量为 ……………………………………10分
二面角E-AB-D的平面角的余弦值 .…………………………12分
20．【解析】（Ⅰ）设圆 的半径为 （ ），依题意，圆心坐标为 ．… 1分
∵
∴ ，解得 ． 3分
∴ 圆 的方程为 ． 5分
（Ⅱ）把 代入方程 ，解得 ，或 ，
即点 ， ． 6分
（1）当 轴时，由椭圆对称性可知 ． 7分
（2）当 与 轴不垂直时，可设直线 的方程为 ．
联立方程 ，消去 得， ． 8分
设直线 交椭圆 于 两点，则
， ． 9分
∵ ，
∴
． 10分
∵ ，
11分
∴ ， ．
综上所述， ． 12分
21．【解析】解：⑴ ……………………2分
由 得 又 所以 ．所以 的单增区间为 . ………4分
（2）方法一：令
所以 ．………………………6分
当 时，因为 ，所以 所以 在 上是递增函数，
又因为
所以关于 的不等式 不能恒成立． ………………………8分
当 时， ．
令 得 ，所以当 时， 当 时， ．
因此函数 在 是增函数，在 是减函数．
故函数 的最大值为 …………10分
令 因为
又因为 在 上是减函数，所以当 时， ．
所以整数 的最小值为2． ……………12分
方法二：⑵由 恒成立，得 在 上恒成立．
问题等价于 在 上恒成立．
令 ，只要 ． ……………………6分
因为 令 得 ．
设 ，因为 ，所以 在 上单调递减，………………8分
不妨设 的根为 ．当 时， 当 时， ．
所以 在 上是增函数；在 上是减函数．
所以 ． …………………10分
因为
所以 此时 所以 即整数 的最小值为2 …… 12分
22．【解析】（Ⅰ）∵ ,
∴ ∽ ,∴ ……………………………………3分
又∵ ,∴ , ∴ ,
∴ ∽ ， ∴ ， ∴
又∵ ，∴ ． ………………………………5分
（Ⅱ）∵ ,
∴ ，∵ ∴
由（1）可知： ，解得 . …………………………7分
∴ ． ∵ 是⊙ 的切线，∴
∴ ，解得 ． ……………………………………10分
23．【解析】（Ⅰ）由 ，得
所以曲线C的直角坐标方程为 .……………………5分
（Ⅱ）将直线 的参数方程代入 ，得 .
设 、 两点对应的参数分别为 、 ，则 ， ，
∴ ，
当 时， 的最小值为4. ……………………10分
24.解：（1）当 时， ，……………3分
由 易得不等式的解集为 ；……………5分
（2）由二次函数 ，该函数在 取得最小值2，
因为 在 处取得最大值 ，……………7分
所以要使二次函数 与函数 的图象恒有公共点，
只需 ，即 。……………10分
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