江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺数学（文）试题（三）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．已知全集 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
2.复数 ( 是虚数单位)的共轭复数为( )
A . B. C. D.
3．已知 ，并且 是第二象限的角，那么 的值等于（ ）
A．- B．- C． D．
4．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
① ；② ；③ ；④ ．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
6. 在 中， 是边 上的一点，且 则 的值为( )
A.0 B.4 C.8 D.-4
7．己知函数 ,
且 在区间 上递减，则 ＝( )
A． B． C． D．
8．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项
等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那
么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是( )
A．
B．
C．
D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线C： 焦点为F，点P是C上一点，若△POF
的面积为2，则
A． B． C． D．4
11.若直线 上存在点 满足约束条件 则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，令 ，则方程 解的个数为( )
A．2014 B． 2015 C． 2016 D．2017
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 则 .
14．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内爬行，则其到三角形顶点距离小于2的地方的概率为 .
15． 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是 .
16.如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据：CD=2，CE=2 ，∠D=45°，∠ACD=105°，∠ACB=48.19°，∠BCE=75°，∠E=60°，则A、B两点之间的距离为 ．（其中cos48.19°取近似值 ）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知数列 与 ，若 且对任意正整数 满足 数列 的前 项和 ．
（I）求数列 的通项公式；
（II）求数列 的前 项和
18．（本小题满分12分）
为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克），将他们的体重数据理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为 ，其中第二小组的频数为12．
（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）已知A、a是该校报考体育专业的两名学生，
A的体重小于55千克， a的体重不小于
千克．现从该校报考体育专业的学生中按分
层抽样分别抽取小于 千克和不小于 千克的
学生共6名，然后在从这6人中抽取体重小
于 千克的学生2人，体重不小于 千克
的学生1人组成3人训练组，求A在训练组且a不在训练组的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中，底面是以 为中心的菱形， , , 为 上一点，且 .
（Ⅰ）证明： ;
（Ⅱ）若 ，求四棱锥 的体积.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆 的中心在坐标原点，左焦点为 ，右焦点为 ， 、 是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上异于 、 的动点，且 面积的最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若线段 是椭圆过点 的弦，且 ，求 内切圆面积最大时实数 的值.
21．（本小题满分12分）
设函数 （其中 为自然对数的底数， ， ），曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若对任意 ， 有且只有两个零点，求 的取值范围．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O
于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于点H．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若 ，求△BDF外接圆的半径．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程是 圆C的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线 上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知 , aa
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求 的取值范围．
2015届高三文科数学复习试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C B A D D B B C C A A D
二.填空题
13. 9 ; 14． ; 15． ; 16． .
三、解答题
17.解：（I）由题意数列｛an｝ 是以3为首项,以2为公差的等数列,
∴an=2n+1……………………3分
当 时， ；………………4分
当 时，bn=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2＋2
对 不成立
18.解：（I）由图知第四组的频率为 ，
第五组的频率为. ………………………………………………………3分
又有条件知前三组的频率分别为 ，所以 …………………5分
（II）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为
体重不小于70千克的学生2人，记为 …………………………………………………6分
从中抽取满足条件的所有结果有： ，
共12种…………………10分
所求事件的概率为 ………………………………………………………………12分
19．（I）因为 底面 ， 底面 ，故 .
因为 是以 为中心的菱形， ，
所以 。…………………………2分
又因为 ，所以 ， ………………………………6分
（II）由（1）可知， ， ,在 中，利用余弦定理可以求得 .…………………………7分
设 ，可得 ,
又因为 ，解得 ，即 .…………………………8分
所以四棱锥 的体积为 ……………12分
20. 解：（I） 面积的最大值 又
…………4分
（II）显然直线 不与 轴重合
当直线 与 轴垂直时，| |=3， ， ；………………5分
当直线 不与 轴垂直时，设直线 ： 代入椭圆C的标准方程，
整理，得
………………7分
令
所以
由上，得
所以当直线 与 轴垂直时 最大，且最大面积为3 ……………10分
设 内切圆半径 ，则
即 ，此时直线 与 轴垂直， 内切圆面积最大
所以， ………………12分
21. 解( I) ………2分
， ………3分
(II)由（1）得 ，
①当 时，由 得 ；由 得 .
此时 在 上单调递减，在 上单调递增.
，
（或当 时， 亦可）
要使得 在 上有且只有两个零点，
则只需 ，即 …6分
②当 时，由 得 或 ；由 得 .此时 在 上单调递减，在 和 上单调递增. 此时
， 此时 在 至多只有一个零点，不合题意………9分
③当 时，由 得 或 ，由 得 ，此时 在 和 上单调递增，在 上单调递减，且 ， 在 至多只有一个零点，不合题意.
综上所述， 的取值范围为 ………12分
22．（I）因为 为圆 的一条直径，所以 …………………………………2分
又 ，所以 四点共圆…………………………………………………4分
(II)因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得 ，代入解得AD=4………………………………………5分
所以 …………………………………………………6分
又△AFB∽△ADH，所以 ………………………………………………………7分
由此得 ………………………………………………………………8分
连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径， ……9分
故△BDF的外接圆半径为 ………………………………………………………………10分
23.解：（I）∵ρ=2cos(θ+4)
∴ρ=2 cosθ-2sinθ,∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ …………2分
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0 …………3分
∴圆心C的直角坐标为(22,- 22) …………5分
（Ⅱ）法一： 由直线 上的点向圆C引切线长为
(22t-22)2+(22t+ 22 +42)2-1=t2+8t+40=(t+4)2+24≥26,
∴直线 上的点向圆C引切线长的最小值为26 …………10分
法二：直线l的普通方程为x-y+42=0, …………6分
圆心C到 距离是 ， …………8分
∴直线 上的点向圆C引的切线长的最小值是 …………10分
24． （I）∵a2+b2≥2ab,
c2+d2≥2cd
∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd), 当且仅当a=b=c=d=22时取“=” …………2分
又∵a2+b2=1, c2+d2=1
∴2(ab+cd)≤2 …………4分
∴ab+cd≤1 …………5分
（II）设m→=(a,b),n→=(1,3),
∵|m→n→|≤|m→||n→|, …………8分
∴|a+3b|≤2a2+b2=2 ∴-2≤a+3b≤2
∴a+3b的取值范围为-2，2 …………10分
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