2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
高三 理科数学
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是宇合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．
（1）己知集合M＝｛x｜ ＞0}，则 M＝（▲）
A.｛x｜－1≤x＜1} B. {x｜－1≤x≤1}
C. {x｜x≤－1} 或x＞1} D. {x｜x≤－1} 或x≥1}
（2)设i为虚数单位，则复数 的共扼复数是（▲）
A、i B、－i C、 i D、－ i
(3)设{an}是公比为q的等比数列，则"0＜q<1”是“{an}为递减数列”的（▲）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(4） 的最大值为（▲）
A、 B、9 C、 D、3
（5）已知A,B,C是圆O上的三点，若 ，则 与 的夹角为（ ）
A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200
(6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示lcm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6m的圆柱体毛坯切削得到，则零件的体积与原来毛坯体积的比值为（▲）
A、 B、 C、 D、
(7)执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（▲）
A. 6 B. 11 C. 16 D. 21
（8）定义运 ，已知 则
(9)己知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率
的取值范围是（▲）
A．( ，＋ ) B. (2，＋ ) C. ( ，2) D. (1,2)
（10）如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是
O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中
A, O，O1，O2,B五点共线），记点P运动的路程为x，设 ，y与x的函数关系为y= f (x)
则y =.f (x)的大致图象是（▲）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．
（11)已知f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x (0, 2]时，f(x)＝ ，则f (2015) = .
(12)以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线
为参数， R）上的点到曲线 的最短距离是 ．
（13）已知
则
（14）己知实数x, y满足 ，则x－2y的取值范围是 ．
（15）甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次：当有一人掷得的结果与其他•二人不同时，此人就出局且游戏终止；否则就进入下一局，并且按相同的规则继续进行游戏；规定进行第十局时，无论结果如何都终止游戏．己知每次掷硬币中正面向上与反面向上的概率都是 ，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
①第一局甲就出局的概率是 ；
②第一局有人出局的概率是 ；
③第三局才有人出局的概率是 ；
④若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是 ；
⑤该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于 •
三、解答题：
（16）(本题满分12分)
设函数 ，其中向量 ， ．
(Ⅰ)求函数 的最小正周期和在 上的单调递增区间； (Ⅱ) 中，角 的对边分别为 ，且 ，求 的取值范围．
（17）(本题满分12分)
某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数 ，其中 的各位数字中， ，且 为0和1的概率分别是 和 ．记 ，当程序运行一次时：
（Ⅰ）求 的概率；
（Ⅱ）求 的分布列和数学期望．
（18）（本小题满分12分）
如图，三棱锥 中，三条侧棱 两两垂直，且长度均为 ， 分别是 的中点，过 作平面 ，平面 与侧棱 相交于 ，与侧棱 的延长线分别交于点 ，且 ．
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值．
（19）（本题满分13分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）若函数 有极值 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若函数 在区间 上为增函数，求实数 的取值范围．
（20）（本小题满分13分）
如图，椭圆 与抛物线 有公共的焦点 ．点 为椭圆 与抛物线 准线的交点之一，过 向抛物线 引切线 ，切点为 ，且点 都在 轴的右侧．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）证明：直线 是椭圆 的切线．
（21）（本小题满分13分）
已知数列 中， ，且 ．
（Ⅰ）若 ， ，求 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求证：当 时， ．
2015年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
高三理科数学答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C B C A D A
二、填空题：
（11）【答案】 .
（12）【答案】
（13）【答案】 .
（14）【答案】 .
（15）【答案】③④.
三、解答题：
（16）(本题满分12分)
解： (Ⅰ)
由 及
得 在[0，π]上单调递增区间为 ． ………………6分
(Ⅱ) ，
………………9分
，
当C= 时，
………………………12分
（17）(本题满分12分)
【命题意图】本题考查随机变量的分布列与期望等基础知识，考查学生应用知识解决问题的能力，容易题.
解：（Ⅰ）已知 ，要使 ， 只须后四位数字中出现2个0和2个1
………… 5分
（Ⅱ） 的取值可以是1，2，3，4，5， …………… 6分
， ， ，
， ，
的分布列是
1 2 3 4 5
P
………… 10分
…………… 12分
（另解：记 ，则 ， ， ）
（18）（本小题满分12分）
【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力，中等题．
(Ⅰ) 证明：
，
； … 6分
(Ⅱ)以 为坐标原点， 分别为 正半轴，建立空间直角坐标系，
则 , , , , , ，
二面角 即为二面角 ，
由 垂直知 ，故 的法向量可以取 ，
设 的法向量 ，则有
，
令 得 ， ，
所以二面角 的余弦值为 ． …………… 12分
注：若学生第（Ⅱ）问给出正确的几何解法，请给分．
（19）（本题满分13分）
【命题意图】本题考查导数与不等式的应用，考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体问题的能力，中等题.
（Ⅰ） ， ，
当 时， ， 在 上单减，无极值，
当 时， 在 上单减，在 上单增，
由题， ，故 ； …………… 6分
（Ⅱ） ， ，
由题， 对 恒成立， …………… 8分
时， ，故 对 恒成立，
记 ，则 ，
故 在 上单减，又 ，所以 ． …………… 13分
（20）（本小题满分13分）
【命题意图】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查利用导数求曲线切线的方法，考查学生运算能力、分析问题的能力，较难题.
（Ⅰ）由题，抛物线 的准线为 ，
代入椭圆 得点 ，
抛物线 即 ， ，
设点 ，则切线 ，
将点 代入上式，得： ，
即 ，即 ，
由于点 在 轴的右侧，所以点 ，
从而 ，
故 ； …………… 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线 ，即 ，
，
整理得： ，即 ，
该方程有两个等根 ，故直线 是椭圆 的切线． …………… 13分
注：本题若有学生利用抛物线、椭圆的光学性质完成正确解答，请酌情给分．
（21）（本小题满分13分）
【命题意图】本题考查数列与不等式的综合运用，考查数学归纳法证明数列不等式，考查学生应用知识解决问题的能力，较难题.
（Ⅰ）当 ， 时， ， ，
由累乘法得： ； …… 5分
（Ⅱ）法一：当 ， 时， ， ， ，
当 时，由 知不等式成立；
假设 时， ，那么：
，
要证 ，只需证 ，
即证 ，
而 ，故 时不等式仍然成立，
综上，当 时， ． …………… 13分
（Ⅱ）法二：当 ， 时， ，由于 ，
所以 ，且 ， ，
于是 时有： ，
当 时， ，即 ，
于是： ，
令 ， ，
相减得： ，
所以 ． …………… 13分
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