衢州市2015年 4月高三年级教学质量检测试卷
数学(文科)
考生须知：
1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷．考试结束后，将答题卷上交．
2．试卷共4页，有三大题，20小题．满分150分，考试时间120分钟．
3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效．
参考公式：
球的表面积公式 柱体的体积公式
球的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
台体的体积公式
其中 表示球的半径
锥体的体积公式 其中 分别表示台体的上底、下底面积，
表示台体的高
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 如果事件 ， 互斥，那么
试卷Ⅰ
注意事项：
请用2B铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框涂黑，然后开始答题．
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知 为正实数，则“ 且 ”是“ ”的（ ▲ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ▲ ）
A. B. C. D.
3．若 是互不相同的空间直线， 是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）
A. B.
C. D.
4．将函数 的图像沿 轴向右平移 后，得到的图像关于原点对称，则 的
一个可能取值为（ ▲ ）
A. B. C. D.
5．若直线 被圆 所截得的弦长为6，则 的最小值为（ ▲ ）
A. B. C. D.
6．在 中，若 ， ， ，则 （ ▲ ）
A. B. C. D.
7． 已知 ，若函数 有三个或者四个零点，则函数
的零点个数为（ ▲ ）
A. 或 B. C. 或 D. 或 或
8．设点 是曲线 上任意一点，其坐标 均满足 ，则 取值范围为（ ▲ ）
A. B. C. D.
非选择题部分（共110分）
二、 填空题 ：本大题共7小题，第9，10每题三空，每空2分，第11，12题每题两空，每空3分，第13，14，15每空4分，共36分。
9．设全集 ，集合 则 ▲ ，
▲ ， ▲ ．
10．设函数 ，则该函数的最小正周期
为 ▲ ，值域为 ▲ ，单调递增区间为 ▲ ．
11．某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何
体的体积为 ▲ ，外接球的表面积为 ▲ ．
12．设不等式组 所表示的平面区域为 ，则区域 的面积为 ▲ ；若直线 与区域 有公共点， 则 的取值范围是 ▲ ．
13． 分别是双曲线 的左右焦点， 为双曲线右支上的一点， 是
的内切圆， 与 轴相切于点 ，则 的值为 ▲ ．
14．定义在 上的函数 ,如果对于任意给定的等比数列 ,
仍是等比数列,则称 为“等比函数”. 现有定义在 上的如下函数:① ；② ； ③ ； ④ .则其中是“等比函数”的 的序号为 ▲ ．
15．在 中， ，点 在 边上，且满足 ，则 的
最小值为 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题,满分74分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分15分）
在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）当 取得最大值时，试判断 的形状．
17．（本小题满分15分）
已知数列 是首项为 的等差数列，其前 项和 满足 ．数列 是以 为首项的等比数列，且 ．
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，若对任意 不等式
恒成立，求 的取值范围．
18．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，点 分别为 的中点，且 ， ， ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正切值．
19．（本小题满分15分）
如图，设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线 于 两点，且 ，线段 的中点到 轴的距离为 .
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）若直线 与圆 切于点 ，与抛物线 切于点 ,求 的面积.
20．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若 ，且 在 上的最大值为 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，函数 在 上不单调，且它的图象与 轴相切，求 的最小值.
2015年4月衢州市高三教学质量检测试卷
数学（文科）参考答案
一、选择题：
BADDC BAD
二、填空题：
9． 10．
11． ； 12． 13． 14．②③ 15．
三、解答题：
16．解：（Ⅰ）由 结合正弦定理变形得: 3分
从而 , , …………………………………6分
∵ ,∴ ； …………………………………………………7分
（Ⅱ）由(1)知 ………………………………………………………8分
则
11分
∵ , ∴ ………………………………12分
当 时, 取得最大值1, ………………13分
此时 , , …………………………………………14分
故此时 为等腰三角形 . ……………………………………15分
17．解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，由题意得， ，解得 ，
∴ …………………………………………………………………4分
由 ，从而公比 ，
∴ …………………………………………………………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴ 10分
又 ，……………………………………………12分
∴对任意 ， 等价于
…………………………………………………13分
∵ 对 递增，
∴ ， ………………………14分
∴ .即 的取值范围为 ……………………15分
18．解：（Ⅰ）证明：取 中点 ，连结 ， ．
为 中点， ，
又 为 中点，底面 为平行四边形，
．
，即 为平行四边形， ……………………4分
∴
平面 ，且 平面 ，
平面 ． ……………………………………………7分
（其它证法酌情给分）
（Ⅱ）方法一：
平面 ， 平面 ， 平面 平面 ，
过 作 ，则 平面 ，连结 ．
则 为直线 与平面 所成的角， ……………………10分
由 ， ， ，得 ，
由 ，得 ，
在 中， ，得 ．
在 中， ，
,
直线 与平面 所成角的正切值为 ． ……………………15分
方法二：
平面 ， ， ，
又 ， ， ，
， ． ……………………………9分
如图，分别以 为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系 ，
则 ， ，
， ，
， ，
，……………………11分
设平面 的一个法向量为 ，则
由 ，令 得 ， ……13分
设 与平面 所成的角为 ，则
，
与平面 所成角的正切值为 ．………………………15分
19．解：（Ⅰ）设 ， ，则 中点坐标为 ，
由题意知 ， ， ………………………3分
又 ， ， ………………………6分
故抛物线 的方程为 ； ………………………………………7分
（Ⅱ）设 ，由 与 相切得
① …………………………………9分
由 （ ）
直线 与抛物线相切，
②……………………11分
由 ①，②得 ，
方程（ ）为 ，解得 ，
，
； ………………13分
此时直线 方程为 或 ，
令 到的距离为 ，
． ………………………15分
20．解：（Ⅰ） 时， ，
∴对称轴是直线 ，
① 时，
②当 时，
③当 时，
综上所述， ； ………………………………6分
（Ⅱ）∵函数 的图象和 轴相切，∴ ，
∵ 在 上不单调，
∴对称轴
∴
，
设 ，
∴
，
∴ ，此时当且仅当 ．………14分
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