渭南市2015年高三教学质量检测（Ⅱ）
数 学 试 题(理科)
注意事项：
1、本试题满分150分；考试时间120分钟；
2、答卷前务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和答题纸上；
3、将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号在答题纸上的答题区域内做答案.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．函数 的定义域为 ，函数 的值域为 ，则
A. B. C. D.
2．定积分 的值为
A.6 B.5 C.4 D. 3
3．下列函数中,满足“ ”的单调递增函数是
A. B.
C. D.
4．设 ，则“ ”是“复数 ”为纯虚数的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知向量 ，且 ∥ ，则
A． B． C． D．
6. 等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则
A． B． C． D．
7. 的展开式中 的系数是
A．5 B．－5 C．20 D．－20
8．执行如图所示的程序框图，则输出的M的值是
A．2 B．12 C.－1 D．－2
9.若过点 的直线与圆 有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知函数 的零点 ，则 的值是
A． B． C． D．
11.在四面体 ，则该四面体 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
12．过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分.第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答.第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答.
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分.请将正确答案写在答题纸的指定区域内）
13.曲线 : 在点（1,0）处的切线 在 轴的截距为________________.
14．设不等式组 表示平面区域为 ，在区域 内随机取一点 ，则点 落在圆 内的概率为
15．已知公比为2的等比数列 中存在两项 ，使得 ，则 的最小值为____________.
16.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下： 甲说：我没有去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过. 在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山.根据以上条件，可以判断游览过华山的人是__________.
三．解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分12分）在 中，角 的对边分别为 满足 .
(Ⅰ) 求角 ；
(Ⅱ) 若 成等比数列，求证： 为等边三角形．
18．（本小题满分12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概 率
（2）购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概 率
（Ⅰ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率等于 ，求 的值；
（Ⅱ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知 ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
19. （本小题满分12分）三棱柱 的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）
20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆 的中心在原点，焦点 在 轴上，焦距与短轴长均为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆 交于 两点，且 的等差中项，求直线 的方程．
21.(本题满分12分) 已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 在其定义域内的单调性；
（Ⅱ）证明： （其中 自然对数的底数）.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一个计分.
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
如图，在 中， 是 的角平分线， 的
外接圆交 于点 ， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）当 时，求 的长．
23．本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程 ( 为参数)
(Ⅰ)已知在极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴)中，点 的极坐标 ，判断点 与直线 的位置关系；
(Ⅱ)设点 为曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值.
24.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若存在 ，使得， 成立，求实数 的取值范围．
渭南市2015年高三教学质量检测（Ⅱ）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、D 2 、A 3 、B 4 、C 5、D 6、C
7、A 8、 C 9、 B 10、B 11、D 12、C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、-1 14、 15 、 16、甲
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ) 由正弦定理，得sinAcosB＋12sinB＝sinC. ……………………2分
而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， ……………………4分
故cosAsinB＝12sinB.在△ABC中，sinB≠0，故cosA＝12..………………5分
因为0<A<π，所以A＝π3. ……………………6分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）A＝π3，在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2+c2-bc ………………………8分
由b 、a、c成等比数列得a2＝bc，所以b2+c2-bc＝bc
即（b-c）2=0，从而b=c ………………………10分
故△ABC是等边三角形． ………………………12分
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：记事件A为 “甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事
件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， 且A，B独立.
由上表可知， ， . ………… 2分
所以
. ………………4分
因为 ，所以 ……………… 5分
经检验，满足 ， ，故 ……………… 6分
（Ⅱ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量 的分布列为：
4 0
…………… 8分
则 . ……………9分
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量 的分布列为：
Y 2 0
…………… 10分
则 . …………… 11分
因为 ，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由三视图可知，几何体为直三棱柱 — ，
……………………2分
，
……………………4分
在正方形 中， ……………………5分
………………..6分
（Ⅱ）解法一（空间向量法）以 为原点建立空间直角系，
……………………………7分
设平面 的法向量
得 令 ，得 …………..9分
又平面 的法向量 …………………………………10分
…………..12分
解法二（补形，酌情给分）如图补成正方体，
易得 为二面角的平面角，
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ，（其中 ）
由题意得， 所以 ，…………2分
所以椭圆 的方程为 …………4分
（Ⅱ）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
代入椭圆 的方程
，……………………6分
设 ，
则 ， ……………………7分
由于 的等差中项，
则
而 ，所以 .……………8分
，解得 ； …………11分
当直线 轴时， ，代入得 ， ,不合题意．
所以，直线 的方程为 ． ……………………12分
（若设直线方程为 求解，会更简洁相应给分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）显然函数 的定义域为(－1,+∞)，
且 ，……………………………2分
所以当 时， ，函数 在其定义域(－1,+∞)内单调递增，
当 时，
所以函数 在(－1,m－1)内单调递减，在(m－1,+∞)内单调递增.
………………………………6分
（II）因为
………………8分
故只需证明此不等式成立即可.
由（I）知， 时，
为增函数，………………10分
即 .
故 得证，所以 . …………………12分
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
解：（Ⅰ）连接 ,因为 是圆内接四边形，所以
又 ∽ ,即有
又因为 ，可得
因为 是 的平分线，所以 ,
从而 ...............5分
（Ⅱ）由条件知 ，设 ，则 ，
根据割线定理得 ,即
即 ，解得 或 （舍去），则 ...............10分
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解 （Ⅰ）把极坐标系下的点 化为直角坐标，得P（-2，2）. ……1分
因为点P的直角坐标（-2，2）满足直线 的方程 ，所以点P在直线 上. ……3分
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为 ，……4分
从而点Q到直线 的距离为
， ……6分
由此得，当 时，d取得最小值 ..........................10分
24.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
故 ，从而所求实数 的范围为 --------10分
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