衢州市2015年 4月高三年级教学质量检测试卷
数学(理科)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.设集合 ， , 则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若 是不相同的空间直线， 是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知实数 满足： ，若 的最小值为 ，则实数 （ ）
A. B. C. D. 8
6.为了得到函数 的图像，可以将函数 的图像（ ）
A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移
7.设点 是曲线 上的动点，且满足
，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.在等腰梯形 中， 其中 ，以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为 ，以 为焦点且过点 的椭圆的离心率为 ，若对任意 不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、填空题
9.已知双曲线： ，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _；
焦点到渐近线的距离为__ _．
10.已知等差数列 的前 项和为 , , ，则 __ ， __ ．
11.三棱锥 中， 平面 ， 为侧棱 上一点，它的正视图和侧视图 （如下图所示），则 与平面 所成角的大小为__ _；三棱锥 的体积为 __ _．
12.在 中，若 ，则其形状为__ _， __
（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）；
13.已知 满足方程 ，当 时，则 的最小值为 __ _．
14.过抛物线 的焦点作一条倾斜角为锐角 ,长度不超过 的弦,且弦所在的直线与
圆 有公共点,则角 的最大值与最小值之和是__ _．
15.已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同的实数
根，且所有实数根之和为 ，则实数 的取值范围为__ _．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.（本题满分15分）已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调增区间；
（Ⅱ）在 中，内角 所对边分别为 ， ，若对任意的 不等式
恒成立，求 面积的最大值．
17.（本题满分15分）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，点 分别为 的中点，且 ， ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）设直线 与平面 所成角为 ，当 在 内
变化时，求二面角 的取值范围．
18.(本题满分15分)已知椭圆 ： 过点 ，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设 分别为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 交于不同两点 ，记 的内切圆的面积为 ，求当 取最大值时直线 的方程，并求出最大值．
19.（本题满分15分）设各项均为正数的等比数列 的公比为 ， 表示不超过实数 的
最大整数（如 ），设 ，数列 的前 项和为 ， 的前 项和为 .
（Ⅰ）若 ，求 及 ；
（Ⅱ）若对于任意不超过2015的正整数 ,都有 ，证明: ．
20.(本题满分14分)设 为函数 两个不同零点.
（Ⅰ）若 ，且对任意 ,都有 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，则关于 的方程 是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；
（Ⅲ）若 ， ,且当 时， 的最大值为 ，求 的最小值.
2015年4月衢州市高三教学质量检测
数学（理）参考答案
一、选择题：
CBAC BDAB
二、填空题：
9． ； 10． ； 11． ；
12．③， ； 13． ； 14． ； 15． ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16.（本题满分15分）
解：（Ⅰ）
由 解得
所以函数 的单调增区间为
（Ⅱ）由题意得当 时， 取得最大值，则 及
解得
由余弦定理得
即
所以当 时，
17.（本题满分15分）
（Ⅰ）证明：取 中点 ，连接 ，
因为点 分别为 的中点，所以
四边形 为平行四边形，则 又 平面 ， 平面
所以 平面
（Ⅱ）解法1：连接 ，因为 ，点 分别为 的中点，则
又 平面 ，则 所以 即为二面角 的平面角
又 ，所以 平面 ，则平面 平面
过点 在平面 内作 于 ，则 平面 ．
连接 ，于是 就是直线 与平面 所成的角，即 = ．
在 中， ；
在 中， ， ．
，
， ．
又 ， ．
即二面角 取值范围为 ．
解法2：连接 ，因为 ，点 分别为 的中点，则
又 平面 ，则 所以 即为二面角 的平面角，设为
以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
于是， ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则由 ．
得
可取 ，又 ，
于是 ，
，
， ．
又 ， ．
即二面角 取值范围为 ．
18.(本题满分15分)
解：（Ⅰ）由题意得 解得
椭圆 的标准方程为
（Ⅱ）设 ， 的内切圆半径为 ，则
所以要使 取最大值，只需 最大
设直线 的方程为
将 代入 可得 (*)
恒成立，方程(*)恒有解，
记
在 上递减
当 ，此时
19.（本题满分15分）
解：（Ⅰ） 所以 则
因为 ，且
所以 即
（Ⅱ）因为
(1)
(2)
由（1）（2）两式可得
20. (本题满分14分)
解：（Ⅰ）由 得函数 关于 对称，则
又 解得
（Ⅱ）由 知只需考虑 时的情况 当 时 可化为
所以关于 的方程 存在唯一负实根
令
在 上单调递增
则
（Ⅲ）
等号成立条件为 所以
因为
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