大庆市2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题
一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.若集合
A B C D
2.已知复数 （其中i是虚数单位），则 =
A. 0 B. C. －2i D. 2i
3.已知命题p: 则
A. B.
C. D.
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.6 B. C.3 D.
5.将函数y=sinx的图像上所有点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
A. B. C. D.
6.一直两个非零向量 ，其中 为 的夹角，若 则 的值为
A.－8 B.－6 C.8 D.6
7.已知抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
8.若 为等差数列， 是其前n项和，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
9.若x,y满足约束条件 则z=4x+3y的最小值为
A.20 B.22 C. 24 D.28
10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填
A． B. C. D.
11.直线y=kx+3与圆 相交于M,N两点。若 ，则k的取值范围是
A. B. C. D.
12.不等式 的解集为P,且 ，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活动，则他们选择相同小组的概率为 。
14.设函数 ，若存在这样的实数 ，对任意的 ，都有 成立，则 的最小值为 。
15.奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，f(1)=2,则f(3)= 。
16.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间 上存在 ，满足 ，则称函数y=f(x)是 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点。例如 是 上的平均值函数，0就是它的均值点。现有函数 是 上的平均值函数，则实数m的取值范围是 。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知a= , .
(Ⅰ)若b= ，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2,求边b的长。
18. (本小题满分12分)已知各项均为证书的数列 前n项和为 ，首项为 ，且 是 和 的等差中项。
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前n项和 。
19. (本小题满分12分)如图：四棱柱 - 中，侧棱垂直与底面， ，E为CD上一点，DE=1,EC=3,
(Ⅰ)证明： ；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离。
20. (本小题满分12分)已知某单位由50名职工，将全体职工随机按1-50编号，并且按编号顺序平均分成10组，先要从中抽取10名职工，各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样。
(Ⅰ)若第五组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
（Ⅱ）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的平均数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从体重不轻于73公斤（ 公斤）的职工中随机抽取两名职工，求被抽到的两名职工的体重之和等于154公斤的概率。
21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中，已知点 E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为 。
(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M,N.若点P在y轴上，且 ，求点P的纵坐标的取值范围。
22. (本小题满分12分)已知函数 ，且函数 的导函数为 ，若曲线 和 都过点A(0,2)，且在点A 处有相同的切线y=4x+2.
(Ⅰ)求a,b,c,d的值；
（Ⅱ）若 时， 恒成立，求实数m的取值范围。
数学答案（文科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C D C D B B B D A A
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．2 15． 16．
三．解答题（本题共6大题，共70分）
17（本小题满分10分）
解：（I）由正弦定理 ，得 ，解得 . . ………………………2分
由于 为三角形内角， ，则 ， ………………4分
所以 ， . . . ………………………5分
（II）依题意， ，即 ，整理得 . …………7分
又 ，所以 . ………………………10分
另解：
由于 ,所以 ，解得 , ……………7分
由于 ，所以 ， . . . . ………………………8分
由 ，所以 .
由勾股定理 ，解得 . . ………………………10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知 ， ……………………………1分
当 时， ； ……………………………2分
当 时， ，
两式相减得 ，整理得： ， …………………5分
∴数列 是以 为首项，2为公比的等比数列.
， ………………………………6分
（Ⅱ）由 得 ， ………………………………9分
所以， ，
所以数列 是以2为首项， 为公差的等差数列，
. ………………………………12分
19. （本小题满分12分）
解：（I）证明：过 作 的垂线交 于 ，则
在 中， ，在 中， .
在 中，因为 ，所以 .
由 平面 ，得 ，所以 平面 . …………………… 6分
（II）三棱锥 的体积 ，
在 中，
同理，
因此 . -------------------------- 10分
设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积
,从而 --------------------------12分
20．（本小题满分12分）
解： （I）由题意，第5组抽出的号码为22.
因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码依次分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. -------------------------- 4分
（II）这10名职工的平均体重为：x－＝110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71 ------------------------ 7分
（III）从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P＝710. --------------------------12分
21. （本小题满分12分）
解：（I）设动点 的坐标为 ,依题意可知 ,
整理得 ,
所以动点 的轨迹 的方程为 ,………………4分
（II）当直线 的斜率不存在时,满足条件的点 的纵坐标为 ； ………………………………5分
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 .
将 代入 并整理得,
.
设 , ,则 ,
设 的中点为 ,则 , ,
所以 . ……………………………8分
由题意可知 ,
又直线 的垂直平分线的方程为 .
令 解得 ……………………………10分
当 时,因为 ,所以 ;
当 时,因为 ,所以
综上所述,点 纵坐标的取值范围是 ……………………12分
22. （本小题满分12分）
解：（I）由已知得 ，
而
故 ……………………………4分
（2）令 ，
则
因 ，则
令 得 ………………………………6分
① 若 ，则 ，从而 时 ；当 时 即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 的最小值
故当 时 即 恒成立。 ………………………8分
② 若 ，则 ，从而当 时 ，即 在 单调递增，而 ，故当 时 即 恒成立。
若 ，则 ，从而当 时， 不可能恒成立。 …………………………11分
综上： 的取值范围是 …………………………12分
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