2015年福建省普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学 2015.04
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式
s= V= Sh
其中 为样本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=Sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设 ，且 ，则 等于
A．2 B．4 C． D．10
2．执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为3，则输出的 的值为
A．1 B．3 C．9 D．27
3．不等式 的解集为
A． B．
C． D．
4．“ ”是“ ”的
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
5．已知 满足 则 的最大值为
A． B． C． D．
6．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下面命题正确的是
Ａ．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ Ｂ．若 ∥ ， ，则 ∥
Ｃ．若 ∥ ， ，则 Ｄ．若 ， ，则
7．在△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，
，则角 等于
A． B． C． D．
8．若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为
A． B． C． D．
9．函数 的图象大致是
10．在等边 中， ,且D,E是边BC的两个三等分点，则 等于
A. B. C. D.
11．已知 为双曲线 的左焦点，直线 过原点且与双曲线 相交于 两点．若 ，则△ 的周长等于
A． B． C．22 D．24
12．已知 是定义在 上的函数，且满足 , ．若曲线 在 处的切线方程为 ，则曲线 在 处的切线方程为
A． B． C ． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．
13．已知 ，则 __________．
14．已知函数 若 ，则 __________．
15．如图，函数 的图象经过矩形 的顶点
．若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影
部分的概率等于__________．
16．An 系列的纸张规格如图，其特色在于：
①A0，A1，A2，…，An所有规格的纸张的长宽比都相同；
② A0对裁后可以得到两张A1，A1对裁后可以得到两张A2，…，An-1对裁后可以得到两张An．
现有每平方厘米重量为 克的A0，A1，A2，…，An纸各一张，若A4纸的宽度为 厘米，则这（ ） 张纸的重量之和 等于__________．（单位：克）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
已知函数 的最小正周期为 ，图象过点 ．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）若函数 的图象是由函数 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度而得到，且 在区间 内是单调函数，求实数 的最大值．
18．（本小题满分12分）
2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：
（Ⅰ）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用
水量都不超过30吨的概率；
（Ⅱ）设该城市郊区和城区的居民户数比为 ，现将年人均
用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一
梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思
想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．
19．(本小题满分12分)
某几何体的三视图及直观图如图所示，其中侧视图为等边三角形．
（Ⅰ）若 为线段 上的点，求四棱锥 的体积；
（Ⅱ）已知 为线段 的中点，试在几何体的侧面内找一条线段，使得该线段垂直于平面 ，且它在该几何体的侧视图上的投影恰为线段 ，并给予证明．
20．(本小题满分12分)
已知中心在原点的椭圆 的右焦点坐标为 ，离心率等于 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）证明斜率为1的所有直线与椭圆 相交得到的弦的中点共线；
（Ⅲ）图中的曲线为某椭圆 的一部分，试作出椭圆 的中心，并写出作图步骤．
21．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，试问：是否存在非零整数 ，使得数列 为递增数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
22．(本小题满分14分)
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）判断 的零点个数，说明理由；
（Ⅲ）若 有两个零点 ，证明： ．
2015年福建省普通高中毕业班质量检查
文科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1．C 2．A 3．D 4．A 5．C 6．C
7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
13． ； 14． ； 15． ； 16． ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．
解法一：（Ⅰ）因为 的最小正周期是 ，所以 ，得 ． ………………….2分
所以 ．
又因为 的图象过点 ，所以 ，
因为 ，所以 ． ………………………………….5分
所以 ，即 ． …………………………………….6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由题设可得 ．
………………………….…..8分
因为 ，所以 ，……………….…10分
要使函数 在区间 内是单调函数，
只有 ，所以 ．
因此实数 的最大值为 ． ……………….…..12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由题设可得 ．……………….8分
令 ，则 ，
因此函数 在 上单调递增， …………………………….9分
令 ，则 ，
因此函数 在 上单调递减， ………………………….10分
要使函数 在区间 内是单调函数，
只有 ，因此实数 的最大值为 ． …………………………….12分
18．本小题主要考查古典概型、茎叶图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：
（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个． …………………………….3分
其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．
…………………………….6分
设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为 ，则所求的概率为 ． ………………………….8分
（Ⅱ）设该城市郊区的居民用户数为 ，则其城区的居民用户数为 ．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：
．
故此方案符合国家“保基本”政策． ………………………….12分
19．本小题主要考查几何体的体积、三视图和直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）取线段 的中点 ，连接 ，则 ．
又∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
，
∴ ， ………………………….1分
又点 在为线段 上的点，且 ∥平面 ，
∴ 是四棱锥 的高， ………………………….2分
又 ， ………………………….4分
∴ ．………………….6分
（Ⅱ）所求的线段是 ． ………………………….7分
首先，∵ ，∴ 在该几何体的侧视图上的投影恰好为线段 ．………8分
下面证明 ．
连接 ，交 于点 ，则点 为线段 的中点，连接 ， ， ，
在平面 中， ， ，∴ ，
同理， ，
∴ ，∴ ， ………………………….10分
又 在正方形 中， ， ………………………….11分
， ， ，
∴ ． ………………………….12分
20．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分．
解法一：（Ⅰ）依题意，得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ． ……………………….4分
（Ⅱ）设直线 ： ， ： ，分别交椭圆于 及 ，弦 和 的中点分别为 和 ．
由 得 ，
令 ，即 ．
又 所以 ， ．
即 ． ………………………….6分
同理可得 ． ………………………….7分
所以直线 所在的直线方程为 ． ………………………….8分
设 ： 是斜率为1且不同于 的任一条直线，它与椭圆 相交于 ，弦 的中点为 同理可得 由于 ，故点 在直线 上．
所以斜率为1的直线与椭圆 相交得到的所有弦的中点共线． ………………………….9分
（Ⅲ）①任作椭圆的两条组平行弦 ∥ ， ∥ ，
其中 与 不平行．
②分别作平行弦 的中点 及平行弦 的
中点 ．
③连接 ， ，直线 ， 相交于点 ，点 即为椭圆 的中心．……………….12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设直线 ： 为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于 弦 的中点 ．
由 得 ，
令 ，即 ．
， ．
所以 …………………………6分
所以 ． ……………….7分
即椭圆 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线 上，
故斜率为1的直线与椭圆 相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分
解法三：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设直线 ： 为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于 弦 的中点 ．
则 ， ，所以 ，
又 ， ， ，
所以 ． ……………….7分
即椭圆 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线 上，
故斜率为1的直线与椭圆 相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分
（Ⅲ）同解法一．
注：本题解法一、解法二中，如果没有考虑 ，不扣分．
21．本小题主要考查数列的通项公式及前 项和公式、等比数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等．满分12分．
解法一：(Ⅰ)因为 ，
所以当 时， ，解得 ； ……………….1分
当 时， ，即 ，……….3分
由 ， 知 ，所以 是以 的等比数列．
……………………………….4分
所以 ． ……………….5分
（Ⅱ）假设存在非零整数 ，使得数列 为递增数列，即对于 ，都有 ．
由(Ⅰ)知 ，又 ，所以 ， ………………6分
所以只要对任意 ，恒有 ，即只要对任意 ，恒有 ．……..① ………………7分
当 为奇数时，①等价于 恒成立．
又 为奇数时， 的最小值为 ，所以 ． ………………8分
当 为偶数时，①等价于 恒成立．
又 为偶数时， 的最大值为 ，所以 ．………………10分
综上， ． ………………11分
又 为非零整数，
故存在非零整数 使得数列 为递增数列． ………………12分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又 ．
所以 ，
所以 ， ， ．…………………………6分
若数列 为递增数列，则 ，
所以 解得 ，
要使数列 为递增数列，且 为非零整数，则只有 ． …………………7分
以下证明，当 时，数列 是递增数列，即证明对于 ，都有 ．
因为
． …………………………9分
当 为奇数时， ，……………………10分
当 为偶数时， ，……………………11分
因此对任意 ，都有 ． …………………………12分
22．本小题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．
解：（Ⅰ）因为 ， ………………1分
所以，当 ， ，当 ， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，……………2分
故当 时， 取得最小值为 ． ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 的最小值为 ．
（1）当 ，即 时， 没有零点．………………5分
（2）当 ，即 时， 有一个零点．………………6分
（3）当 ，即 时，
构造函数 ，则 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，故 ． ………………8分
又 ，………………9分
所以必存在唯一的 ，唯一的 ，使得 为 的两个零点，
故当 时， 有两个零点．………………10分
（Ⅲ）若 为 的两个零点，设 ，则由（Ⅱ）知 ．
因为
．………………11分
令 ，则 ，
………………12分
所以 在 上单调递增，因此， ．
又 ，所以 ，即 ，
故 ，………………13分
又 ，且由（Ⅰ）知 在 单调递减，
所以 ，所以 ．………………14分
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