2015年高三教学测试（二）
理科数学 试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题纸，考生须在答题纸上作答．答题前，请在答题纸的密封线内填写学校、班级、学号、姓名．
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
①棱柱的体积公式： ；②棱锥的体积公式： ；③棱台的体积公式： ；④球的体积公式： ；⑤球的表面积公式： ；其中 , 表示几何体的底面积， 表示几何体的高，R表示球的半径．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在△ 中，“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
3．计算：
A． B．
C．5 D．15
4．已知 ，实数 满足： ，若 的最小值为1，则
A．2 B．1 C． D．
5．若 ， ，则
A． B． C． D．2
6．已知圆 的弦AB的中点为 ，直线AB交x轴于点P，则
A．4 B．5 C．6 D．8
7．设 、 分别为双曲线C： ， 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M、N两点，且满足 ，则该双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
8．设 ，其中 ．若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立，则 的取值范围为
A．R B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）
9．已知全集 ，集合 ， ，则 ▲ ； ▲ ．
10．在等差数列 中， ， ，则公差 ▲ ， ▲ ．
11．若向量 与 满足 ， ， ．则向量 与 的夹角等于 ▲ ；
▲ ．
12．已知函数 ，则 ▲ ；若 ，则 ▲ ．
13．已知实数 且 ，则 的最小值是 ▲ ．
14．抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，若 ，则点 的横坐标为 ▲ ．
15．正方体 的棱长为1，底面ABCD的对角线 在平面 内，则正方体在平面 内的射影构成的图形面积的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）
三角形 中，已知 ，其中，角 所对的边分别为 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的取值范围．
17．（本题满分15分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 、 、 分别为 、 、 的中点， 、 分别为线段 、 上的动点，且有 ．
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角 为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．
18．（本题满分15分）
已知椭圆 的离心率为 ，过点 的动直线 与椭圆交于 两点，当 // 轴时， ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当 时，求直线 的方程．
19．（本题满分15分）
如图，在平面直角坐标系 中，设 ，有一组圆心在x轴正半轴上的圆 （ ）与x轴的交点分别为 和 ．过圆心 作垂直于x轴的直线 ，在第一象限与圆 交于点 ．
（Ⅰ）试求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设曲边形 （阴影所示）的面积为 ，若对任意 ， 恒成立，试求实数m的取值范围．
20．（本题满分15分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，函数 在区间 上的最大值为 ，试求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当 时，若不等式 对任意 （ ）恒成立，求实数k的取值范围．
2015年高三教学测试（二）
理科数学 参考答案
一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1．C； 2．D； 3．A； 4．C；
5．C； 6．B； 7．A； 8．D．
8．【解析】
设 ， ，由条件知二次函数的对称轴不能在y轴的左侧即 ，且两个函数的图象在 轴上交于同一点，即 ，
所以， 在 上有解，从而 .
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）
9． ， 10． ， 11． ， 12．3，1
13．1 14．4 15．
15．【解析】
设矩形 与 所成锐二面角为 ，
面积记为 ，则正方形 与
所成锐二面角为 ，面积记为 ．
所求阴影面积
，其中 ．故 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）
三角形 中，已知 ，其中，角 所对的边分别为 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的取值范围．
16．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得： ，
∴由余弦定理得： ，∴ ． …6分
（Ⅱ）由正弦定理得：
又 ，∴ ，
∴ ，
而 ，∴ ，
∴ ，∴ . …14分
17．（本题满分15分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 、 、 分别为 、 、 的中点， 、 分别为线段 、 上的动点，且有 ．
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角 为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．
17．【解析】（Ⅰ）∵ 平面 ，
∴ ，
又 ，∴ 面 ；
又∵ ，
∴ 面 . …6分
（Ⅱ） 由条件可得， 即为二面角 的平面角；
若二面角 为直二面角，则 .
在直角三角形PCA中，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得，
；
同理可得， ；
又由 ，得 ，解得 或 .
∴存在直二面角 ，且CM的长度为1或 . …15分
18．（本题满分15分）
设椭圆 的离心率为 ，过点 的动直线 与椭圆交于 两点，已知当 // 轴时， ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当 时，求直线 的方程．
18．【解析】（Ⅰ）由条件： ，∴ ，
过点 且平行于 轴的直线截椭圆
所得弦长为： ，
∴ ，∴椭圆的方程为： ．…6分
（Ⅱ）设 ， ，∴ ①
（1）若直线l存在斜率，可设l： ，
则由 可得，
∴ ，与①联立解得， ；
（2）若直线l不存在斜率，则l： ，
∴ ，易知
∴直线 的方程为： ． …15分
19．（本题满分15分）
如图，在平面直角坐标系 中，设 ，有一组圆心在x轴正半轴上的圆 （ ）与x轴的交点分别为 和 ．过圆心 作垂直于x轴的直线 ，在第一象限与圆 交于点 ．
（Ⅰ）试求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设曲边形 （阴影所示）的面积为 ，若对任意 ， 恒成立，试求实数m的取值范围．
19.【解析】（Ⅰ）由条件可得，
，又因为
，可得数列 是等比数列．
故， ，从而 ．…6分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以
．
故可得实数 ． …15分
20．（本题满分15分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，函数 在区间 上的最大值为 ，试求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当 时，若不等式 对任意 （ ）恒成立，求实数k的取值范围．
20.【解析】（Ⅰ）∵ ，∴ 在 上递减，在 上递增，
又∵ 在区间 上的最大值为 ，
∴ ，得 ，∴ ，即 ； …6分
（Ⅱ）∵ ∴ 恒成立
令 ，∴ 在 上递增。
对于 ， ，
（1）当 时，
①当 时， 在 上递增，所以 符合；
②当 时， 在 上递增，所以 符合；
③当 时，只需 ，即
∴ ，∴
（2）当 时，
①当 时， 在 上递减，所以 不合；
②当 时， 在 上递减，所以 不合；
③当 时，只需 ， ，
∴
综上可知， ． …15分
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