2015年高三教学测试（二）
文科数学 试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题纸，考生须在答题纸上作答．答题前，请在答题纸的密封线内填写学校、班级、学号、姓名．
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
①棱柱的体积公式： ；②棱锥的体积公式： ；③棱台的体积公式： ；④球的体积公式： ；⑤球的表面积公式： ；其中 , 表示几何体的底面积， 表示几何体的高，R表示球的半径．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若 ， ，则
A． B． C． D．2
2．计算：
A． B．
C．4 D．6
3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
4．已知实数 满足： ，则 的最小值为
A．6 B．4 C． D．
5．在△ 中，“ ”是“△ 为锐角三角形”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数 的图象可由函数 的图象
A．向左平移 而得到 B．向右平移 而得到
C．向左平移 而得到 D．向右平移 而得到
7．设 、 分别为双曲线C： ， 的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M、N两点，且满足 ，则该双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
8．已知函数 ，其中 . 若对任意的非零实数 ，存在唯一的非零实数 ，使得 成立，则 的取值范围为
A． B．
C． D． 或
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）
9．已知全集 ，集合 ， ，则 ▲ ； ▲ ．
10．若向量 与 满足 ， ．则向量 与 的夹角等于 ▲ ；
▲ ．
11．已知函数 ，则 ▲ ；若 ，则 ▲ ．
12．若实数 且 ，则 的最小值是 ▲ ， 的最小值是 ▲ ．
13．已知圆 的弦AB的中点为 ，则直线AB的方程为 ▲ ．
14．已知数列 的首项 ，且满足 ，
则 ▲ ．
15．长方体 中，已知 ， ，棱 在平面 内，则长方体在平面 内的射影所构成的图形面积的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）
三角形 中，已知 ，其中，角 所对的边分别为 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的取值范围．
17．（本题满分15分）
已知数列 是等比数列，且满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 是递增数列，且 ，求数列 的前n项和 ．
18．（本题满分15分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 、 、 分别为 、 、 的中点， 、 分别为线段 、 上的动点，且有 ．
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角 为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．
19．（本题满分15分）
已知抛物线 焦点为F，抛物线上横坐标为 的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与抛物线交于 两点，若以 为直径的圆过点 ，求直线 的方程．
20．（本题满分15分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）若 ，且存在互不相同的实数 满足 ，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围．
2015年高三教学测试（二）
文科数学 参考答案
一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1．C； 2．A； 3．D； 4．C；
5．B; 6．B; 7．A; 8．D．
8．【解析】由题意，对任意的非零实数 ，都存在唯一的非零实数 ，使得 成立，也即函数图象除 外，其余均是一个函数值对应两个自变量，结合图象可知： ，即 当 时始终有解，
因此 ， ，因此 或 ．
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）
9. ， 10. ， 11.3，1 12. ，
13. 14. 15.
15.【解析】四边形 和 的面积分别为4和6，长方体在平面 内的射影可由这两个四边形在平面 内的射影组合而成. 显然， . 若记平面 与平面 所成角为 ，则平面 与平面 所成角为 . 它们在平面 内的射影分别为 和 ，所以， （其中， ），因此， ，当且仅当 时取到. 因此， .
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）
三角形 中，已知 ，其中，角 所对的边分别为 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的取值范围．
16.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得： ，
∴由余弦定理得： ，
∴ ． …6分
（Ⅱ）由正弦定理得：
又 ，∴ ，
∴ ，
而 ，∴ ，
∴ ，∴ . …14分
17．（本题满分15分）
已知数列 是等比数列，且满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 是递增数列，且 ，求数列 的前n项和 ．
17.【解析】（Ⅰ）因为 是等比数列，所以 ，又
因此 ， 是方程 ，可解得：
，或 ，因此 ，或
所以， 或 …9分
（Ⅱ）数列 是递增数列，所以 ，
…15分
18．（本题满分15分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 、 、 分别为 、 、 的中点， 、 分别为线段 、 上的动点，且有 ．
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角 为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．
18．【解析】（Ⅰ）∵ 平面 ，
∴ ，
又 ，∴ 面 ；
又∵ ，
∴ 面 . …6分
（Ⅱ） 由条件可得， 即为二面角 的平面角；
若二面角 为直二面角，则 .
在直角三角形PCA中，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得，
；
同理可得， ；
又由 ，得 ，解得 或 .
∴存在直二面角 ，且CM的长度为1或 . …15分
19．（本题满分15分）
已知抛物线 焦点为F，抛物线上横坐标为 的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与抛物线交于 两点，若以 为直径的圆过点 ，求直线 的方程．
19.【解析】（Ⅰ）抛物线的方程为： ．…6分
（Ⅱ）由题意可知，直线 不垂直于y轴
可设直线 ，
则由 可得， ，
设 ，则 ，
因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，即
可得：
∴
，
解得: ，
∴直线 ，即 ． …15分
20．（本题满分15分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）若 ，且存在互不相同的实数 满足 ，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围．
20.【解析】（Ⅰ）若 ，则
当 时， ；当 时， .
，此时， 的图像如图所示
要使得有四个不相等的实数根满足 ，
即函数 与 的图像有四个不同的交点，
因此 的取值范围为 . …6分
（Ⅱ）（1）若 ，则 ，在 上单调递增，满足条件；
（2）若 ，则 ，只需考虑 的时候
此时 的对称轴为 ，因此，只需 ，即：
（3）若 ，则
结合函数图像，有以下情况：
○1 ，即 时，此时 在 内单调递增，因此在 内也单调递增，满足条件；
○2 ，即 时，
在 和 内均单调递增，
如图所示，只需 或 ，
解得： ；
由○1○2可得， 的取值范围为：
由（1）、（2）、（3）得，实数 的取值范围为： …15分
命题人
沈勤龙、黄海平、吴旻玲、刘 舸
吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华
2015年3月
点击下载：浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试（二）数学(文)
