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鹰潭市2015届高三第一次模拟考试
数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设复数 ，则 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2．己知集合 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3．设双曲线 的渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )
A． 的图像上 B． 的图像上
C． 的图像上 D． 的图像上
5．已知命题p: 已知实数 ，则 是 且 的必要不充分条件，
命题 :在曲线 上存在斜率为 的切线，
则下列判断正确的是 ( )
A． 是假命题 B． 是真命题
C． 是真命题 D． 是真命题
6．设 满足约束条件 若目标函数
的最大值是12，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）（单位 ）
A. B . C . D. 32
8． ，且 则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知曲线 与 轴的交点为 ，分别由 两点向直线 作垂线，垂足为 ，沿直线 将平面 折起，使 ，则四面体 的外接球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
10．定义 为 个正数 的“均倒数”．若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 =( )
A． B． C． D．
11．已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点P，过P作圆的切线PA,PB,切点为A,.B使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．函数 的定义域为 ，数列 是公差为 的等差数列，且 ，记 ，关于实数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 恒为负数 B． 恒为正数
C．当 时， 恒为正数；当 时， 恒为负数
D．当 时， 恒为负数；当 时， 恒为正数
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
13．某校对全校男女学生共1 600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是_______人．
14．定义在R上的可导函数 ，已知y=2f ' (x)的图象如图所示，
则 的减区间是_______
15．在 中， ，O为 的内心，且
则 = .
16．已知数列 满足 且 若函数
，记 则数列 的前9项和为 .[解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）设 是锐角三角形， 分别是内角 所对边长，并且 .
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ) 若 ， ， 为 的中点，求 的长．
18．（本小题满分12分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀.统计成绩后，得到如下的 列联表,
优秀 非优秀 合计
甲班
乙班
合计
（1）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.
参考公式与临界值表： .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱 中，O是AC的中点，A1O⊥平面 ， ， .
（I）求证： AC1⊥平面A1BC;
（II）若AA1=2，求点C到平面 的距离。
20．（本小题满分12分） 已知函数 ，在 处的切线与直线 垂直，函数
（1）求实数 的值；；
（2）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值。
21．（本小题满分12分）已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点．
（Ⅰ）若 轴与以 为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线与 轴负半轴相交，求 面积的最大值。
【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图， ， 分别为 的边 ， 上的点，且不与 的顶点重合。已知 的长为m， 的长为n，AD, 的长是关于 的方程 的两个根。
（Ⅰ）证明： ， ， ， 四点共圆；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圆的半径。
23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
已知极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 正半轴为极轴，已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 （ 为参数， ，射线 与曲线 交于极点 外的三点
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）当 时， 两点在曲线 上，求 与 的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式 ；
（2）对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
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鹰潭市2015年高三第一次模拟考试
数学试题(文科)答案
一、选择题：
1--4 DDCD 5--8 CDBC 9--12 BBAA
二、填空题：
(13) 760 (14) (15) (16) -9
三、解答题：
17.解：（1）易知
.................6分
...........12分
18.解（1）假设成绩与班级无关，则
则查表得相关的概率为99％，故没达到可靠性要求。 ……………6分
（2）设“抽到 或 号”为事件 ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为 .
所有的基本事件有: 、 、 、 、 共 个. ……………9分
事件 包含的基本事件有: 、 、 、 、 、 、 共7个
所以 ,即抽到9号或 号的概率为 . ……………12分
19．证明：（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC． ………2分
因为AA1＝AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．
所以AC1⊥平面A1BC． ………6分
（Ⅱ）设三棱锥C-A1AB的高为h．
由（Ⅰ）可知，三棱锥A-A1BC的高为 1 2AC1＝3．
因为VC-A1AB＝VA-A1BC，即 1 3S△A1ABh＝ 1 3S△A1BC•3．
在△A1AB中，AB＝A1B＝22，AA1＝2，所以S△A1AB＝7． ………10分
在△A1BC中，BC＝A1C＝2，∠BCA1＝90，所以S△A1BC＝ 1 2BC•A1C＝2．
所以h＝2217． ………12分
20．解：（1）∵ ，
∴ ，∵ 在 处的切线 与直线 垂直，
∴ ，解得 ． ..........4分
（2）∵ ，
∴ ，∴ ..........6分
∴
∵ ，∴设 ，令 则 ，∴ 在（0，1）上单调递减，
又∵ ，∴ ，即 ，
，故所求的最小值为 ..........12 分
21.（1）联立 ，化简得
由 ，解得 ……………2分
设 则
设圆心 则有
，解得 …………4分
所以 ，圆心 ，故圆的方程为 ...6 分
（Ⅱ）因为直线与 轴负半轴相交，所以 ，
又与抛物线交于两点，由（1）知 ，所以 ，……………7分
直线： 整理得 ，点 到直线的距离 ，
＋ 0 －
极大
所以 ．……………9分
令 ， ， ，
由上表可得 的最大值为 ．
所以当 时， 的面积取得最大值 ．……………12分
22. 证明：（Ⅰ）连结DE,根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC
即 ,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE～△ACB
因此∠ADE=∠ACB,所以C,B,D,E四点共圆。……………5分
（Ⅱ）m=4,n=6,方程 的两根为2,12.即AD=2，AB=12
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连结D,H,因为C,B,D,E四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于∠A=900
故GH∥AB,HF∥AC.从而HF=AG=5，DF=5，故半径为5 .……………10分
23.解 （1）依题意 则
+ 4cos ……………2分
= + =
= ……………5分
（2） 当 时，B,C两点的极坐标分别为 化为直角坐标为B ，C …………….7分
是经过点 且倾斜角为 的直线，又因为经过点B,C的直线方程为 ………….9分
所以 …………10分
24．解：（1） -2 当 时， , 即 ，∴ ；
当 时， ,即 ,∴
当 时， , 即 , ∴1 6
综上，{ | 6} ………5分
（2） 函数 的图像如图所示：
令 ， 表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时， ；
∴当- 2，即 -2时成立； …………………8分
当 ，即 时，令 ， 得 ,
∴ 2+ ,即 4时成立，综上 -2或 4。 …………………10分
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