安徽省安庆市2015届高三第二次模拟考试
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知 是虚数单位,复数 满足 ,则复数 等于
A. B. C. D.
2.已知椭圆 的离心率为 ,则实数 等于
A.2 B.2或 C. 或6 D.2或8
3.设随机变量 服从正态分布 ,且 在 上取值的概率为0.8,则 在(0,3)上取值的概率为
A.0.2 B.0.3 C.0.8 D.0.1
4.在等比数列 中, ,且 是 和 的等差中项,则 的公比为
A.2 B.3 C.2或3 D.6
5.在极坐标系中,曲线 上的两点 对应的极角分别为 ,则弦长 等于
A.1 B. C. D.2
6.已知点 是边长为1的正方形 的对角线 上的任意一点, 于 , 于 ,则 等于
A.1 B.
C. D.
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
8.某村2014年的农业年生产总值为2000万元,在2015年中,大力推进绿色生态农业,预计以后每年的农业生产总值都比上一年增长10%,现设计了一个程序框图计算预计农业年生产总值首次超过3000万元的年份,那么图中的※处和最后输出的结果应是
A. B. C. D.
9.设实数 满足 ,且 ,则
A.有最小值9 B.有最大值9 C.有最大值1 D.有最小值1
10.已知函数 其中 ,设 为 的一个 零点,若 ,则符合条件的 的值有
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.
11.若 的展开式的常数项是 ,则实数
12.设实数 满足 ,则 的取值范围是
13.已知命题 函数 的值域为 ,命题 对任意的 ,不等式 恒成立,若命题 为真命题,则实数 的取值范围是
14.若函数 的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为
15.规定:坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度为正角,顺时针旋转的角度为负角,不改变坐标轴的原点和长度单位,只将两坐标轴旋转同一个角度 ,这种坐标轴的变换叫做坐标轴的 角旋转,简称转轴 ,将平面直角坐标系 转轴 得到新坐标系 ,设点 在两个坐标系中的坐标分别为 和 ,则下列结论中错误的是 (把你认为错误的所有结论的序号都填上)
①与 轴垂直的直线转轴后一定与 轴垂直;②当 时,点 在新坐标系中的坐标为 ;③当 时,反比例函数 的图象经过转轴后的标准方程是
④当 时,直线 的图象经过转轴后的直线方程是
⑤点 在两个坐标系中坐标之间的关系是
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16(本小题满分12分)
如图所示,在平面四边形 中, .
(Ⅰ)当 时,求 的面积;
(Ⅱ)设 ,记四边形 的周长为 ,求 的表达式,并求出 的最大值.
17(本小题满分12分)
为美化环境,某小区物业计划在小区内种植甲,乙,丙,丁四棵树苗,受环境影响,甲,乙两棵树苗成活率均为 ,丙,丁两棵树苗成活率均为 ,每棵树苗成活与否相互没有影响.
(Ⅰ)若甲,乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙,丁两棵树苗都成活的概率相等,求 的值
(Ⅱ)设 为最终成活的树苗的数量,求 的概率分布列及数学期望值.
18(本小题满分12分)
如图所示,在四棱柱 中,底面 是梯形, ,侧面 为菱形,
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)若 ,点 在平面 上的射影恰为线段 的中点,求平面
与平面 所成锐二面角的余弦值.
19(本小题满分13分)
已知抛物线 ,四边形 内接于抛物线,如图所示.
(Ⅰ)若直线 的斜率均存在,分别记为 ,求证: ;
(Ⅱ)若直线 的斜率互为相反数,且弦 轴,求证:直线 与抛物线在点 处的切线平行.
20(本小题满分13分)
已知函数 .
(Ⅰ)若 在区间 上为单调递增函数,求实数 的取值范围;
(Ⅱ)若 ,设直线 为函数 的图象在 处的切线,求证: .
21(本小题满分13分)
已知数列 满足 .
(Ⅰ)求证:对任意 ;
(Ⅱ)判断数列 的单调性,并说明你的理由;
(Ⅲ)设 为数列 的前 项和,求证:当 时, .
2015年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题(理科) 参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B C D A B C B
1.A【解析】 ，选 .
2.D【解析】显然 且 .当 时，椭圆长轴在 轴上，则 ，解得 ；当 时，椭圆长轴在 轴上，则 ，解得 ，选 .
3.B【解析】因为 服从正态分布 ，所以 ， ，所以 .选 .
4.B【解析】设公比为 ，由已知 ， 得 解得 或 ，但 不符合.选 .
5.C【解析】 、 两点的极坐标分别为 、 ，化为直角坐标为 、 ，故 ，选 .
6.D【解析】设 ， ， ， （ ， ），根据题意可知 ， ， ， ， ，且 . 所以 ， ， ，故
.选 .（注：也可用坐标法或特殊位置法求解.）
7. A【解析】该几何体的直观图如图所示.
.选 .
8.B【解析】 . 因为 ， ，所以 的最小正整数值为5.选 .
9.C【解析】因为 ，所以 .
又 ， ，所以 ，故 .
当且仅当 时取等号. 选 .
10.B【解析】 . 因为 ，
所以 ，解得 .由 知 ， ， ， .当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， .
故，符合条件的 的值有2个.选 .
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)
11. ，【解析】 ，由 ，
得 ， .
12. ，【解析】由题意，可行域如图所示，
则 ， ，所以 ，故.
13. ，【解析】函数 的值域为 ；对任意的 ，不等式 恒成立 ，所以若命题 为真命题，则 ； 的范围为 .
14. ，【解析】由图可知， ， ，
由 得 ，又 ，
得 ，由图知 ， ，
由 ，得 所以 ，
阴影部分面积 .
15.（1），（2），（3），【解析】（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；（2）点 在新坐标系中的坐标应为 ，错误；（3） 时，函数 的图象经过转轴后的标准方程是 ，错误；
（4）直角坐标系 中的直线 ，在坐标系 中倾斜
角为 ，且经过点 ，故转轴后的直线方程是
，正确；（5）证明如下：设 ， ，
则 ，
，正确.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）在△ 中， ， ，
，根据余弦定理可得 . ………2分
在△ 中，因为 °，所以当 时， ，
根据正弦定理可得 ， .
的面积 . ……… 5分
（Ⅱ）在△ 中，由 ，得 ， ， ……… 7分
所以
…9分
因为 ，所以当且仅当 时， 有最大值 .
从而 的最大值为 . ……… 12分
17．（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ） ， ………4分
（Ⅱ） 可取0、1、2、3、4
=
………7分
∴ 的分布列为
0 1 2 3 4
………9分
+
∴ . ………12分
18.（本小题满分12分）
【解析】解一：（Ⅰ）因为侧面 为菱形，所以 ，又 ，
所以
，
从而 . ………5分
（Ⅱ）设线段 的中点为 ，连接 、 ，由题意知 平面 .因为侧面 为菱形，所以 ，故可分别以射线 、射线 、射线 为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，如图1所示.
设 ，由 可知 ， ，所以 ，从而 ， ， ， . 所以 .
由 可得 ，所以 . ………7分
设平面 的一个法向量为 ，由 ， ，
得 取 ，则 ， ，所以 . ………9分
又平面 的法向量为 ，所以 .
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . ………12分
解二：（Ⅰ）连接 、 、 ，设 交 于点 ，
连 ，如图2所示.
由 ， 可得△ ≌△ ，
所以 .由于 是线段 的中点，所以 ，
又根据菱形的性质 ，所以 平面 ，
从而 . ………5分
（Ⅱ）因为 ， ，所以延长 、 交于点 ，
延长 、 交于点 ，且 ， .连接 ，
则 .过点 作 的垂线交 于点 ，交 于点 ，
连接 ，如图3所示.因为 ，所以 .
由题意知 平面 ，所以由三垂线定理得 ，
故 是平面 与平面 所成二面角的平面角. ………8分
易知 ， ，所以 .在 △ 中，
，所以 .
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . ………12分
19．（本题满分13分）
【解析】 (Ⅰ) 证明：设 ， ， ，
，
同理： ，故 ………4分
同理： ，从而得证. ………6分
(Ⅱ) 证明：由 ，有 ， ，设以 为切点的切线斜率为 ，则其方程为 ，代入 ，得
得 ，而
； ………9分
由若直线 、 的斜率互为相反数，则有
， ，
而点 不在 上，所以，直线 平行于点 处的切线. ………13分
20．（本题满分13分）
【解析】（Ⅰ）由已知， ，由已知 对 恒成立，
故， 对 恒成立，得 ，∴ 为所求. ………4分
（Ⅱ）证明： ，则
函数 在 处的切线方程为
当 时， ;
当 时，要证 ；
即证 ＜0 ………6分
令
设 ，
则 ，∵ ，∴
∴ 在 上单调递减，而 ………10分
∴当 时， ，当 时，
即当 时， ，当 时
∴ 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数
∴ 时， ，即有
综上， ………13分
21.（本题满分13分）
【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明： （ ）.
① 当 时， ，结论正确；
② 假设 时结论成立，即 ，
则 时， ，所以 时，结论正确.
故，由①、②及数学归纳法原理，对一切的 ，都有 成立. ………4分
(Ⅱ) 是单调递减的数列.
因为 ，又 ，
所以 ， . 这说明 是单调递减的数列. ………8分
（Ⅲ）由 ，得 ，所以 .
根据(Ⅰ) （ ），所以 ，
所以 .
所以，当 时， ，即 .
当 时， ，当 时，
. ………13分
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