湖南省2015届高三 十三校联考 第二次考试
数学（文）
时量：120分钟，满分：150分
长郡中学 衡阳八中 永州四中 岳阳县一中 湘潭县一中 湘西州民中
石门一中 澧县一中 郴州一中 益阳市一中 桃源县一中 株洲市二中
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合 ＝ ， ＝ ，则 =（ ）C
A． B． C． D．
2．不等式 成立是不等式 成立的（ ）A
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
3．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为（ ）B
A．780 B． 680
C． 648 D． 460
4．输入 时，运行如图所示的程序，输出的 值为（ ）C
A．4 B．5 C．7 D．9
5．已知 ，则 的最小值为（ ）D
A． B． C． D．6
6．下列函数中，在 上为增函数的是（ ）B
A B． C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）D
A． B．
C． D．
8．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 ，则 （ ）A
A．6 B．3 C． D．
9．称 为两个向量 、 间的“距离”．若向量 、 满足:① ；② ；③对任意的 ，恒有 ，则（ ）C
A． B． C． D．
10．已知函数 ，若对 ，都有 ，则实数 的最大值为（ ）B
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．
11．已知复数 （其中是虚数单位），则 ．
12．若直线的参数方程为 ，则直线的斜率为 ．
13．函数 存在与直线 平行的切线，则实数a的取值范围为 ．
14．在区间 和 分别取一个数,记为 , 则方程 表示离心率大于 的双曲线的概率为 ．
15．在锐角 中， ， ，则边 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16、（本小题满分12分）编号分别为A1，A2，…，A16的16名校篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：
区间 [10,20) [20,30) [30,40]
人数
（2）从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．
解：（1）4，6，6； ………………………4分
（2）①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13。从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：
{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，
共15种； ………………………8分
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种；
所以P(B)＝515＝13． ………………………12分
17、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的侧棱 底面 ，且底面 是直角梯形， ， ， ，点 在侧棱上．
（1）求证： 平面 ；
（2）若侧棱 与底面 所成角的正切值为 ，点 为侧棱 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
证明（1）由已知可算得 ， ，
故 ，
又 ， 平面 ，故 ，
又 ，所以 平面 ；………………………6分
解（2）如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，易证明 ，
则 即异面直线 与 所成角；
又 底面 ， 即为 与底面 所成角，
即 ， ，即 ，
易求得 ， ，则在 中， ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ． ………………………12分
18、（本小题满分12分）已知正项数列 的首项 ，前 项和 满足 ．
（1）求证： 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
解（1） 当 时， ， ，
即 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，故 ，
故 （ ），当 时也成立；
因此 ………………………6分
（2） ，
，
又 ， ，解得 或 ，
即所求实数 的取值范围为 或 ． ………………………12分
19、（本小题满分13分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形有左边上，设 ， ，那么的长度取决于角 的大小．
（1）写出用 表示的函数关系式，并给出定义域；
（2）求的最小值．
解（1）由已知及对称性知， ， ，
又 ， ，
又由 得， ，
即所求函数关系式为 ， ………………………4分
由 得， ，又显然 ，
，即函数定义域为 ………………………7分
（2） ， ，
令 （ ），利用导数求得，当 时， ，
所以的最小值为 ． ………………………13分
20、（本小题满分13分）如图，椭圆 的离心率为 ， 、 分别为其短轴的一个端点和左焦点，且 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点为 ， ，过定点 的直线与椭圆C交于不同的两点 ， ，直线 ， 交于点 ，证明点 在一条定直线上．
解（1）由已知， ， ，且 ， ， ，
因此椭圆C的方程 ………………………4分
（2）由题意，设直线 ： ， ， ，
联立 得 ，则
， ①………………………8分
设直线 ： ， ： ，
联立两直线方程，消去 得 ②………………………10分
又 ， ，并不妨设 ， 在x轴上方，则 ，
代入②中，并整理得：
将①代入，并化简得 ，解得 ，
因此直线 ， 交于点 在定直线 上． ………………………13分
21、（本小题满分13分）设知函数 （ 是自然对数的底数）．
（1）若函数 在定义域上不单调，求 的取值范围；
（2）设函数 的两个极值点为 和 ，记过点 ， 的直线的斜率为 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的取值集合；若不存在，请说明理由．
解（1） 的定义域为 ，并求导 ，
令 ，其判别式 ，由已知必有 ，即 或 ；
①当 时， 的对称轴 且 ，则当 时， ，
即 ，故 在 上单调递减，不合题意；
②当 时， 的对称轴 且 ，则方程 有两个不等 和 ，且 ， ，
当 ， 时， ；当 时， ，
即 在 ， 上单调递减；在 上单调递增；
综上可知， 的取值范围为 ； ………………………6分
（2）假设存在满足条件的 ，由（1）知 ．
因为 ，
所以 ，
若 ，则 ，由（1）知，不妨设 且有 ，
则得 ，即 ……………（*）
设 ，
并记 ， ，
则由（1）②知， 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
又 ，所以当 时， ；当 时， ，
由方程（*）知， ，故有 ，
又由（1）知 ，知 （ 在 上单调递增），
又 ，因此 的取值集合是 ． ………………………13分
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