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鹰潭市2015届高三第一次模拟考试
数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第II卷两部分，满分150分，时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的。
1．设集合 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位， 为实数，复数 在复平面内对应的点为 ，则“ ”是“点 在第四象限”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条
3．设等比数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，
则 =（ ）
A．63 B．48 C．42 D．36
4．已知 ，则 （ ）
A．－ B． C．－ D．
5．已知命题 :函数 的最小正周期为 ；命题 ：若函数 为偶函数，则 关于 对称.则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的 不小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．甲乙两人从 门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有 门不相同的选法共有（ ）
A．30种 B．36种 C．60种 D．72种
9．已知 是双曲线 的左焦点，过 作倾斜角为 的直线 ，直线 与双曲线交于点 与 轴交于点 且 ，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知方程 在 有两个不同的解 （ ），则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则
不等式 的解集（ ）
A． B． C． D．
12．设函数 ，若对任意给定的 ，都存在唯一的 ，满足 ，则正实数 的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 ， ， 的夹角为60°，则 ．
14．设实数 满足 则 的最大值为 ．
15．棱锥的三视图如上图所示，且三个三角形均为直角三角形，
则 的最小值为 ．
16．球 为边长为 的正方体 的内切球，
为球 的球面上动点， 为 中点， ，则点
的轨迹周长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知公比为负值的等比数列 中， ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．(本小题满分12分）
湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某 位大众评审对这 位歌手进行投票，每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的，求：
（Ⅰ）恰有 人把票投给歌手甲的概率；
（Ⅱ）投票结束后得票歌手的个数 的分布列与期望．
19．(本小题满分12分）
在如图所示的几何体中， 平面 ， ∥ ， 是
的中点， ， ， ．
（Ⅰ）证明 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值的大小．
20．（小题满分12）
椭圆 的方程为 ， 、 分别是它的左、右焦点，已知椭圆 过点 ，且离心率 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，设椭圆的左、右顶点分别为 、 ，直线 的方程为 ， 是椭圆上异于 、 的任意一点，直线 、 分别交直线 于 、 两点，求 的值；
（Ⅲ）过点 任意作直线 （与 轴不垂直）与椭圆 交于 、 两点，与 交
于 点， ， ． 求证： ．
21．（本大题满分12分）
已知函数 ， ， 图象与 轴异于原点的交点 处
的切线为 ， 与 轴的交点N处的切线为 ， 并且 与 平行．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）已知实数 ，求 的取值范围及函数
的最小值；
（Ⅲ）令 ，给定 ，对于两个大于 的正数
，存在实数 满足： ， ，并且使得不等式 恒成立，求实数 的取值范围.．
22．(本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图， 内接于直径为 的圆 ，过点 作圆 的切线交
的延长线于点 ， 的平分线分别交 和圆 于点
，若 ．
（Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求 的值．
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正
半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是
是参数 ．
（Ⅰ）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，求直线的倾斜角 的值．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若 的解集为 ， ，求证： ．
鹰潭市2015届高三第一次模拟考试数学(理科)答案
一、选择题：1—5 DAADB 6 —10 BCABC 11—12 AB
二、填空题：
13． 14． 15． 16．
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）因为数列 是等比数列，所以 ，则 或 ，因为数列 的
公比为负值，所以 ，故 ，则 ，故
即数列 的通项公式为 ……………………………………6分
（Ⅱ）由条件知，
………………9分
则 故
。……………………………12分
18．解：（Ⅰ）解法一：所有可能的投票方式有 种，恰有2人把票投给歌手甲的方
式 种，从而恰有2人把票投给歌手甲的概率为 ……5分
解法二：设对每位投票人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
记“把票投给歌手甲”为事件 ，则 ，从而，由独立重复试验中事件 恰发生 次的
概率计算公式知，恰有2人把票投给歌手甲的概率为
（Ⅱ）ξ的所有可能值为：
………………………11分
综上知，ξ有分布列
ξ 1 2 3
P
从而有
………………………12分
19．解法一（1）取 的中点 ，连结 、 ．
因为 ∥ ， ∥ ，所以 ∥ ．
又因为 ， ，所以 ．
所以四边形 是平行四边形， ∥ …………………… 分
在等腰 中， 是 的中点，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
而 ，所以 平面 ．
又因为 ∥ ，所以 平面 ． ……………………… 分
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ．
过点 作 于 ，则 平面 ，所以 ．
过点 作 于 ，连结 ，则 平面 ，所以 ．
所以 是二面角 的平面角 ……………………… 分
在 中， ．
因为 ，所以 是等边三角形．又 ，
所以 ， ．
在 中， ．
所以二面角 的余弦值是 ．…………… 分
解法二（1）因为 平面 ， ∥ ，所以 平面 ．
故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
相关各点的坐标分别是 ， ， ，
， ， ．…………………… 分
所以 ， ， ．
因为 ， ，
所以 ， ．而 ，所以 平面 ……… 分
（2）由（Ⅰ）知， ， ， ．
设 是平面 的一个法向量，由
得 即 ．取 ，则 ．
设 是平面 的一个法向量，由
得 即 ．取 ， ，则 ．
…………… 分
∵二面角 为锐二面角，设二面角 的大小为 ，则
故二面角 的余弦值是 ……… 分
20．解：（Ⅰ） …………………………4分
（Ⅱ）设 ，则直线 、 的方程分别为 ， ，
将 分别代入可求得 两点的坐标分别为 ， .
由（Ⅰ）， ,
所以 ，
又∵点 在椭圆 上，∴ ，
∴ .…………………………8分
（Ⅲ）设 ， , ，由 得
所以 ，代入椭圆方程得 ①
同理由 得 ②
①－②消去 ，得 ，所以 ．……………12分
21．解：（1） 图象与 轴异于原点的交点 ，
图象与 轴的交点 ，
由题意可得 ，即 ， ……………………2分
∴ ， …………………3分
（2） =
令 ，在 时， ，
∴ 在 单调递增， ………………4分
图象的对称轴 ，抛物线开口向上
①当 即 时， ………………5分
②当 即 时， ………6分
③当 即 时，
………………7分
,
所以 在区间 上单调递增
∴ 时，
①当 时，有 ，
，
得 ，同理 ，
∴ 由 的单调性知 、
从而有 ，符合题设. ………………9分
②当 时， ，
，
由 的单调性知 ，
∴ ，与题设不符 ……………11分
③当 时，同理可得 ，
得 ，与题设不符.
∴综合①、②、③得 ……………12分
22. 选修4—1：几何证明选讲
解：（1）∵PA是圆O的切线 ∴ 又 是公共角
∴ ∽ …………………2分
∴ ∴ …………………4分
（2）由切割线定理得： ∴
又PB=5 ∴ …………………6分
又∵AD是 的平分线 ∴
∴ ∴ ………8分
又由相交弦定理得： ………10分
23.选修4—4：坐标系与参数方程
解：（1）由 得 ……………3分
（2）将 代入圆的方程得 ，
化简得 .
设 、 两点对应的参数分别为 、 ,则 , ……………7分
,
, , 或 .……………10分
24. 解：（1）当a=2时，不等式为 ，
不等式的解集为 ；……………5分
（2） 即 ，解得 ，而 解集是 ，
，解得a=1,所以
所以 . ……………10分
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