2014——2015学年高中三年级第二次统一考试
数学试卷（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．
2．考试结束，将答题卷交回．
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为
A．0 B．1 C．2 D．4
2．集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x｜x∈A，且x B}，则
A－B＝
A．{x｜x＜－1} B．{x｜－1≤x＜0}
C．{x｜－1＜x＜0} D．{x｜x≤－1}
3．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象的对称轴方程是
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
4．设等比数列{ }的公比为q，则“0＜q＜1”是“{ }是递减数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数f（x）＝ ，g（x）＝lgx，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围是
A．[0，＋∞） B．（0，＋∞） C．[1，＋∞） D．（1，＋∞）
6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋ ＝ ，
则cosA等于
A． B．－ C． D．－
7． 的展开式中 的系数为
A．－100 B．－15 C．35 D．220
8．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为
A． B． C． D．
9．已知双曲线C： （a＞0，b＞0），斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两点，若 ＋ 与向量 ＝（－3，－1）共线，则双曲线C的离心率为
A． B． C． D．3
10．设函数f（x）＝x｜x－a｜,若对 , ∈[3，＋∞）, ≠ ,不等式 ＞0恒成立，则实数a的取值范围是
A．（－∞，－3] B．[－3，0） C．（－∞，3] D．（0，3]
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体
的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为
A．1 B．
C． D．2
12．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝ ,AC＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为 ，则球O的表面积为
A．36π B．16π
C．12π D． π
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值
的和为________________．
14．已知tanα，tanβ分别是 ＝0的两个实根，则tan（α＋β）＝_________．
15．已知向量 ，满足｜ ｜＝2，｜ ｜＝1，且对一切实数x，｜ ＋ ｜≥｜ ＋ ｜恒成立，则 ， 的夹角的大小为________________．
16．已知F1，F2分别是双曲线 （a＞0）的左，右焦点，P是抛物线 与双曲线的一个交点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝12，则抛物线的准线方程为_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知正项数列{ }的前n项和为 ，对 ∈N﹡有 ＝ ．
（1）求数列{ }的通项公式；。
（2）令 ，设{ }的前n项和为 ，求T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．
18．（本小题满分12分）
为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中
随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图
（单位：cm）：
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，
身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个
子”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）若BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且 ＝λ ，使得CP∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（2）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值．
20．（本小题满分12分）
设M是焦距为2的椭圆E： （a＞b＞0）上一点，A、B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－ ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E： （a＞b＞0）上点N（ ， ）处切线方程为 ，若与椭圆E相切于C（ ， ），D（ ， ）两点的切线相交于P点，且 • ＝0．求证点P到原点距离为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝ －xlna（a＞1），g（x）＝b－ ，e为自然对数的底数．
（1）当a＝e，b＝5时，求整数n的值，使得方程f（x）＝g（x）在区间（n，n＋1）内有解；
（2）若存在 ， ∈[－1，1]使得f（ ）＋g（ ）＋ ≥f（ ）＋g（ ）＋e成
立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）（选修4—1几何证明选讲）
如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．点P在线段BA
延长线上，T是⊙O2上一点，PT⊥O2T，过P的直线交
⊙O1于C，D两点．
（1）求证： ＝ ；
（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2
＝5，PT＝ ，求PA的长．
23．（本小题满分10分）（选修4－4坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点M是曲线C1上任意一点,点N是曲线C2上任意一点,求｜MN｜的取值范围．
24．（本小题满分12分）（选修4—5不等式选讲）
已知a，b∈R＋，a＋b＝1， ， ∈R＋．
（1）求 的最小值；
（2）求证： ．
点击下载：河南省洛阳市2015届高三第二次统一考试 数学理
