2014—2015学年高中三年级第二次统一考试
数学试卷（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．
2．考试结束，将答题卷交回．
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为
A．0 B．1 C．2 D．4
2．已知集合A＝{1， ＋1}，B＝{2，4}，则“m＝ ”是“A∩B＝{4}”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若α∈[0，2π），则满足 ＝sinα＋cosα的α的取值范围是
A．[0， ] B．[0，π]
C．[0， ] D．[0， ]∪[ ，2π）
4．曲线f（x）＝ 在点（1，f（1））处切线的倾斜角为 ，则实数a＝
A．1 B．－1
C．7 D．－7
5．过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若｜AF｜＝5，则｜BF｜＝
A． B．1 C． D．2
6．已知圆C： ，若点P（ ， ）在圆C外，则直线l: 与圆C的位置关系为
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
7．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值的和为
A．6 B．21 C．101 D．126
8．已知不等式 表示的平面区域的面积为2，则 的最小值为
A． B． C．2 D．4
9．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（2x）的图象的对称轴方程是
A．x＝－1 B．x＝－ C．x＝ D．x＝1
10．已知P是△ABC所在平面内一点，若 ＝ － ，则△PBC与△ABC的面积的比为
A． B． C． D．
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体
的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为
A．1 B．
C． D．2
12．已知函数f（x）＝ 若方程f（x）－kx＝1有两个不同实根，则实数k的取值范围为
A．（ ，e） B．（ ，1）∪（1，e－1]
C．（ ，1）∪（1，e） D．（ ，e－1]
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13．双曲线 （b＞0）的离心率为 ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为__________。
14．等比数列{ }中，a1＝1，a10＝2，则 ＋ ＋…＋ ＝_________．
15．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝ ,AC＝ ，若三棱锥D－ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为___________．
16．已知正项数列{ }的前n项和为 ，对 ∈N﹡有 ＝ ．令 ，设{ }的前n项和为 ，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，已知sin（A＋B）＝sinB＋sin（A－B）．
（1）求∠A；
（2）若 • ＝20，求｜ ｜的最小值．
18．（本小题满分12分）
有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费（消费金额不超过1000元），其中有女士1100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析，如下表：（消费金额单位：元）
消费金额 （0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]
人数 10 25 35 30 x
女士消费情况：
男士消费情况：
消费金额 （0，200） [200，400） [400，600） [600，800） [800，1000]
人数 15 30 25 y 5
（1）计算x，y的值；在抽出的200名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者
中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；
女士 男士 总计
网购达人
非网购达人
总计
（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网
购达人”，低于600元的网购者为“非网
购达人”，根据以上统计数据填写右面
2×2列联表，并回答能否在犯错误的概
率不超过0．05的前提下认为“是否为
‘网购达人’与性别有关?”
附：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d）
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）若BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且 ＝λ ，使得CP∥平面ABEF?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（2）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时点F到平面ACD的距离．
20．（本小题满分12分）
设M是焦距为2的椭圆E： （a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－ ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E： （a＞b＞0）上点N（ ， ）处切线方程为 ， 若P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．
21．（本小题满分12分）
已知f（x）＝ － － ．
（1）若f（x）在（－∞，－1]上递增，[－1，0]上递减，求f（x）的极小值；
（2）若x≥0时，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）（选修4—1几何证明选讲）
如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．点P在线段BA
延长线上，T是⊙O2上一点，PT⊥O2T，过P的直线交
⊙O1于C，D两点．
（1）求证： ＝ ；
（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2
＝5，PT＝ ，求PA的长．
23．（本小题满分10分）（选修4－4坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点,求｜MN｜的取值范围．
24．（本小题满分10分）（选修4—5不等式选讲）
已知a，b∈R＋，a＋b＝1， ， ∈R＋．
（1）求 的最小值；
（2）求证： ．
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