天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查
数学(理)试题
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件 互斥,那么 如果事件 相互独立,那么
. .
柱体的体积公式 . 其中 表示 锥体的体积公式 . 其中 表示
柱体的底面积, 表示柱体的高. 锥体的底面积, 表示锥体的高.
（4）设函数 若 ,则 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（5）设 R,则 是 的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
（6）在△ 中, 已知 是 的中点, ,点 在 上且满足 ,则 等于
（A） （B） （C） （D）
（7）设变量 满足约束条件 则 的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（8）如图, 切圆 于点 ,割线 经过圆心 ,若 , 平分 ,交圆 于点 ,连接 交圆 于点 ,则 的长等于
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
（9）在 的展开式中, 的系数是 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体
的体积为 cm³.
（11）在△ 中, , ,若△ 的面积等于
,则 边长为 .
（12）已知等比数列 的公比为正数,且 , ,则 等于 .
（13）已知直线 的参数方程为 （ 为参数）,圆 的极坐标方程为 ,
则圆 的圆心到直线 的距离等于 .
（14）若不等式 对满足 ≤ ≤ 的所有 都成立,则 的取值范围
是 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
已知向量 , , .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）当 时,求函数 的取值范围.
（16）（本小题满分13分）
在一次数学测试中,甲、乙两个小组各12人的成绩如下表:（单位:分）
甲组 91 86 82 75 93 90 68 82 76 94 92 64
乙组 77 84 95 81 98 69 72 88 93 65 70 85
若成绩在90分以上（包括90分）的等级记为“优秀”,其余的等级都记为“合格”.
（Ⅰ）在以上24人中,如果按等级用分层抽样的方法从中抽取6人,再从这6人中随机选出2人,求选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率；
（Ⅱ）若从所有等级为“优秀”的人当中选出3人,用 表示其中乙组的人数,求随机变量 的分布列和的数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图,在三棱锥 中,底面 是正三角形, , , 侧面 底面 , 分别为 的中点.
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知数列 满足 ,其前 项和 ,且 , N*.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ,并记 为数列 的前 项和,
求证: , N*.
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆 （ ）的离心率 ,且它的左焦点 与右顶点 的距离 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）过点 作与 轴不重合的直线 交椭圆于 , 两点,连接 , 分别交直线 于 , 两点,求证:直线 与直线 的斜率之积为定值.
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