商丘市2015年高三第二次模拟考试
数 学（理科）
本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合 , ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）复数 为纯虚数，若 ( 为虚数单位)，则实数 的值为
（A） （B） （C） （D）
（3）已知向量a = ( ,1)，b = (0, -1)，c = (k, )，若a - 2b与c共线，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（4）下列命题，真命题是
（A） 的充要条件是 （B） R，
（C） R， （D）若 为假，则 为假
（5）设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（6）在递增的等比数列 中，已知 ， ，且前 项和为 ，则
（A） （B） （C） （D）
（7）执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知直线 与曲线 相切，
则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（9）若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正值是
（A） （B） （C） （D）
（10）已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 的正方形，如图所示，则它的体积为
（A） （B）
（C） （D）
（11）已知以 为焦点的抛物线 上的两点 满足 ，
则弦 中点到准线的距离为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知定义在R上的函数 对任意 都满足 ，且当 时， ，则函数 的零点个数为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
（13）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 .
（14）设 ，则 展开式的常数项为 .
（15）已知 的三个顶点在以 为球心的球面上，且 ， ，球心 到平面 的距离为 ，则球 的表面积为 .
（16） 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（17）（本小题满分12分）
已知正项等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和 .
（18）（本小题满分12分）
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物 次，最后落入 袋或 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、
右两边下落的概率分别是 、 .
（Ⅰ）分别求出小球落入 袋和 袋中的概率；
（Ⅱ）在容器的入口处依次放入 个小球，记 为落入 袋中的小球个数，求 的分布列和数学期望．
（19）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥 的底面为
菱形， ， ，
.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 与以椭圆 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为椭圆 上一点，若过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ，满足 （ 为坐标原点），求实数 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
已知函数 ( R)．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意实数 ，当 时，函数 的最大值为 ，求 的取值范围．
请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形 内接于⊙ ，过点 作⊙ 的切
线 交 的延长线于 ，已知 .
证明：（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
（23）（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴的正半轴重合，直线 的极坐标方程为： ，曲线 的参数方程为：
（Ⅰ）写出直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.
（24）（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
已知关于 的不等式 ，其解集为 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， 均为正实数，且满足 ，求 的最小值.
商丘市2015年 高三第二次模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分） DAAC DDBB CDAB
二、填空题（每小题5分，共20分） （13） ； （14） ； （15） ； （16） .
三、解答题（共70分）
（17）解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列 的首项为 ，公差为 ， ，
则 ………………………………………………………2分
得 ………………………………………………………………………………4分
. …………………………………………………………6分
法二： 是等差数列且 ， ，
又 ………………………………………………………………………2分
， ， …………………………………3分
, …………………………………………………………4分
. …………………………………………………6分
（Ⅱ） ，且 ， .
当 时，
，…………………8分
当 时， 满足上式， . ……………………………9分
. ……………………………………………10分
.………………………12分
（18）解：（Ⅰ）记“小球落入 袋中”为事件 ，“小球落入 袋中”为事件 ，则事件 的对立事件为事件 . …………………………………………………………1分
而小球落入 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，
故 , …………………………………………3分
从而 .…………………………………………………4分
（Ⅱ）显然，随机变量 的所有可能取值为 .……………………………………5分
且 .…………………………………………………………………………6分
故 ， ，
， ，
.
则 的分布列为
0
……………………………………………10分
故 的数学期望为 . …………………………………………12分
（19）解：（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ．
∵ ，∴ .………………………………………………………1分
又四边形 是菱形，且 ，
∴ 是等边三角形，∴ .…………………………………………2分
又 ，∴ ，
又 ，∴ …………………………………………4分
（Ⅱ）由 ， ，易求得 ， ，
∴ ， .………………………………………………5分
以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直坐标系 ，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， .…………………………6分
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
∴ ，∴ ， ，∴ . ……………8分
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
∴ ，∴ ， ，∴ . …………10分
∴ ，
∵ 二面角 为钝角，∴二面角 的余弦值为 .………12分
（20）解：（Ⅰ）由题意，以椭圆 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为 ，
∴圆心到直线 的距离 （*）………………………………1分
∵椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴ , ， 代入（*）式得 ， ∴ ，
故所求椭圆方程为 ……………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，设 ，
将直线方程代入椭圆方程得： ，
∴ ，∴ .
设 , ，则 ， …………………6分
由 ，
当 ,直线 为 轴， 点在椭圆上适合题意； …………………………………7分
当 ，得
∴ . ………………………………………………8分
将上式代入椭圆方程得： ，
整理得： ，由 知， ， ……………………………10分
所以 ， ……………………………………………………………11分
综上可得 . ……………………………………………………………12分
（21）解：（Ⅰ）当 时， ，
则 ，……………………………………1分
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
∴函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . ………4分
（Ⅱ）由题意 ，
（1）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，此时，不存在实
数 ，使得当 时，函数 的最大值为 .……………6分
（2）当 时，令 ，有 ， ，
①当 时，函数 在 上单调递增，显然符合题意.……………7分
②当 即 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减， 在 处取得极大值，且 ，
要使对任意实数 ，当 时，函数 的最大值为 ，
只需 ，解得 ，又 ，
所以此时实数 的取值范围是 . ……………………………9分
③当 即 时，函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，要存在实数 ，使得当 时，
函数 的最大值为 ，需 ，
代入化简得 ，①
令 ，因为 恒成立，
故恒有 ，所以 时，①式恒成立，
综上，实数 的取值范围是 . …………………………………12分
（22）解：（Ⅰ）∵ 与⊙ 相切于点 ，
∴ . …………………2分
又 ，
∴ ，
∴ . …………………………5分
（Ⅱ）∵四边形 内接于⊙ ，
∴ ， ……………………………………………………………6分
又 ， ∴ ∽ . ……………………8分
∴ ，即 ，∴ . ………………………10分
（23）解：（Ⅰ） ， , ………………………3分
，即 . …………………………………5分
（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为 ，
所以，曲线 上的点到直线 的距离
.……………10分
解法二：曲线 为以 为圆心， 为半径的圆.圆心到直线的距离为 ,
所以，最大距离为 .……………………………………………10分
（24）解：（Ⅰ）不等式 可化为 ， …………………………………1分
∴ ，即 , ……………………………………2分
∵其解集为 ，∴ ， . ………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
（方法一：利用基本不等式）
∵ ，
∴ ，∴当且仅当 时， 取最小值为 .……………10分
. （方法二：利用柯西不等式）
∵ ，
∴ ，∴当且仅当 时， 取最小值为 .……………10分
（方法三：消元法求二次函数的最值）
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴当且仅当 时， 取最小值为 .………………………………10分
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