天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查
数学(文)试题
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件 互斥,那么 如果事件 相互独立,那么
. .
柱体的体积公式 . 其中 表示 锥体的体积公式 . 其中 表示
柱体的底面积, 表示柱体的高. 锥体的底面积, 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知 （ R）,其中 为虚数单位,则 等于
（A） （B） （C） （D）
（2）设变量 满足约束条件 则 的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（3）已知双曲线 （ , ）的一条渐近线为 ,右焦点坐标为 ,则该双曲线的离心率等于
（A） （B） （C） （D）
（4）已知等比数列 的公比为正数,且 , ,则 等于
（A） （B） （C） （D）
（5）已知命题 R, ≤ ,则 为
（A） R, （B） R, ≥
（C） R, （D） R,
（6）设函数 若 ,则 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（7）在△ 中, 已知 是 的中点, ,点 在 上且满足 ,则 等于
（A） （B） （C） （D）
（8）如图, 切圆 于点 ,割线 经过圆心 ,若 , 平分 ,交圆 于点 ,连接 交圆 于点 ,则 的长等于
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
（9）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品的数量分别
为 件、 件、 件,为调查产品质量,用分层抽样的
方法抽取一个容量为 的样本,其中乙车间的产品中共抽
取 件，则 的值为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体
的体积为 cm³.
（11）已知 （ R）,
则函数 的最大值等于 .
（12）阅读右面的程序框图,当该程序运行后输出的 值
是 .
（13）已知函数 （ R）是偶函数,则实数 的值为 .
（14）若不等式 对满足 ≤ ≤ 的所有 都成立,则 的取值范围
是 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
现有6名学科竞赛优胜者,其中语文学科是 ,数学学科是 ,英语学科是 ,从竞赛优胜者中选出3人组成一个代表队,要求代表队中至少包含两个学科.
（Ⅰ）用所给字母列出所有可能的结果；
（Ⅱ）设 为事件“代表队中没有英语优胜者”,求事件 发生的概率.
（16）（本小题满分13分）
已知在△ 中, , , .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
（17）（本小题满分13分）
如图,在三棱锥 中, , , 分别为 的中点.
（Ⅰ）求证: 平面 ；
（Ⅱ）求证:平面 平面 .
（Ⅲ）若△ 是正三角形,且 , ,
求二面角 的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知数列 满足 ,其前 项和 ,且 , N*.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ,并记 为数列 的前 项和,
求证: , N*.
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆 （ ）的离心率 ,且它的左焦点 与右顶点 的距离 .
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）过点 作与 轴不重合的直线 交椭圆于 , 两点,连接 , 分别交直线 于 , 两点,求证:直线 与直线 的斜率之积为定值.
（20）（本小题满分14分）
已知函数 在 上为增函数, 在 上为减函数.
（Ⅰ）分别求出 和 的表达式；
（Ⅱ）当 时,证明方程 有唯一解；
（Ⅲ）当 时,若 ≥ 在 内恒成立,求 的取值范围.
和平区2014-2015学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（文理）学科试卷参考答案及评分标准
一、选择题 （每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）C （4）A （5）A （6）D （7）D （8）B
二、填空题 （每小题5分，共30分）
（9） （10） （11） （12） （13）
（14）
三、解答题 （本大题共6小题，共80分）
（15）（本题13分）理科
（Ⅰ）解: ……………………（1 分）
. ……………………（3 分）
∵函数 的单调递增区间为 , Z. ……（5 分）
∴ ≤ ≤ ,即 ≤ ≤ , Z. ……（7 分）
∴函数 的单调递增区间为 , Z. …………（8 分）
（Ⅱ）解: ∵当 时, ≤ ≤ , ……………………（10分）
∴ ≤ ≤ ,故 ≤ ≤ . ……………………（12分）
∴函数 在区间 上的取值范围是 . ………………（13分）
（16）（本题13分）文科
（Ⅰ）解: ∵ 在△ 中, ,
∴ . ……………………（3 分）
∵ , , ,
∴ 由正弦定理,得 . ……………………（6 分）
（Ⅱ）解: ∵ , , ,
∴由余弦定理,得 .……………………（8 分）
即 ,整理得 . ………………（10分）
解得 ,故 . ……………………（13分）
（16）（本题13分）理科
（Ⅰ）解:根据表格可知等级为“优秀”的有8人,等级为“合格”的有16人,
用分层抽样的方法抽取,每个人被抽中的概率是 . ………………（2 分）
故样本中等级为“优秀”的有 （人）,
等级为“合格”的有 （人）. ……………………（4 分）
设“至少有一个等级为‘优秀’的被选中”为事件 ,
则 .
∴选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率为 . ………………（7 分）
（Ⅱ）解: 依题意,等级为“优秀”的共有8人,其中甲组有5人,乙组有3人,则 的
所有可能取值为 .
；
；
；
.
∴随机变量 的分布列是:
0 1 2 3
…………（11分）
∴ . ……………………（13分）
（17）（本题13分） 文科
（Ⅰ）证明: ∵在△ 中, 分别为 的中点,
∴ . ……………………（2 分）
又 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .……………………（4 分）
（Ⅱ）证明: ∵在△ 中, , ,
∴ . ……………………（5 分）
∵在△ 中, , , 为 的中点,
∴ . ……………………（6 分）
∵ 平面 , 平面 ,且 ,
∴ 平面 . ……………………（7 分）
又 平面 ,
∴平面 平面 . ……………………（9 分）
（Ⅲ）解: 二面角 即为二面角 ,
由（Ⅱ）可知, , .
故 即为所求二面角 的平面角. ……………………（10分）
在△ 中,易知 , , , ……………………（11分）
由余弦定理,得 .
∴二面角 的余弦值为 . ……………………（13分）
（17）（本题13分） 理科
（Ⅰ）证明: 取 的中点 ,连接 , .
∵ , ,
∴ , .
又∵平面 平面 ,
且 是平面 与平面 的交线,
∴ 平面 .
如图所示建立空间直角坐标系 . ……………………（1 分）
由已知得 , , ,
, , .
∴ , . ……………………（3 分）
∴ .
∴ . ……………………（5 分）
（Ⅱ）解: , , . ………（6 分）
设平面 的法向量为 ,
∵ , ,
∴ 令 ,则 , .
故 为平面 的一个法向量. ……………………（8 分）
则 , .
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . ……………………（10分）
（Ⅲ）解: 由（Ⅱ）可知 为平面 的一个法向量,
而 为平面 的一个法向量, ……………………（11分）
设二面角 的大小为 ,易知二面角 是锐角,
∴ .
∴二面角 的余弦值等于 . ……………………（13分）
（18）（本题13分）
（Ⅰ）解: 由 ,解得 或 . ……………………（1 分）
由题设 ,可知 . ……………………（2 分）
由 , …………（3 分）
可得 ,
解得 . ……………………（5 分）
即数列 是首项为 ,公差为 的等差数列.
∴数列 的通项公式为 . ……………………（6 分）
（Ⅱ）证明: 由（Ⅰ）可得 . ……………………（7 分）
则 . ……………………（8 分）
欲证 , N*,
即证明 , N*,
只需证明 , N*,即可. ………………（9 分）
∵ , ,…, , ……………………（11分）
∴ .
∴ , N*.证毕. ……………………（13分）
（19）（本题14分）
（Ⅰ）解: 设椭圆的左焦点 的坐标为 , ……………………（1 分）
依题意 , , . ……………………（3 分）
解得 , , .
∴椭圆 的标准方程为 .…（5 分）
（Ⅱ）解:设 , ,
由直线 与 轴不重合,故可设直线 , …………………（6 分）
由 整理得 . …………（7 分）
, . ……………………（8 分）
由 , , 三点共线,可得 ,即 ,
由 , , 三点共线,同理可得 . ……………………（9 分）
. ……（10分）
而 ,
故 ……………………（12分）
.
∴直线 与直线 的斜率之积为定值 . ……………………（14分）
（20）（本题14分）
（Ⅰ）解: 由 ,依题意 ≥ , ,
即 ≤ 在 上恒成立,故 ≤ . ……………………（2 分）
由 ,依题意 ≤ 在 内恒成立,,即 ≥ .
综合上述结论, . ……………………（4 分）
∴ , . ……………………（5 分）
（Ⅱ）证明: 由（Ⅰ）可知方程 ,即 .
设 ,
则 = .…………………（7 分）
令 ,并由 ,解得 .
令 ,并由 ,解得 . ……………………（9 分）
, 的变化情况如下表:
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