商丘市2015年高三第二次模拟考试
数 学（文科）
本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知R为实数集，集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）R
（2）已知 （ R， 为虚数单位），则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知变量 满足约束条件 则 的最大值为
（A） （B） （C） （D）
（4）若 ， ， ，则当 时， 的大小关系是
（A） （B） （C） （D）
（5）在 中，已知 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知命题p：函数 （ 且 ）的图象恒过 点；命题q：已知平面 ∥平面 ，则直线 ∥ 是直线 ∥ 的充要条件. 则下列命题为真命题的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
（8）函数 ( R, )的最小正周期为 ，为了得到 的图象，只
需将函数 的图象
（A）向左平移 个单位长度 （B）向右平移 个单位长度
（C）向左平移 个单位长度 （D）向右平移 个单位长度
（9）在△ABC中，已知 ， ，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（10）在递增的等比数列 中，已知 ， ，且前 项和为 ，则
（A） （B） （C） （D）
（11）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积大小为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数 ，若 是从 三个数中任取的一个数， 是从 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
（13） 的值为 .
（14）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
．
（15）双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心率为 .
（16）已知圆 与直线 相交于 、 两点,则当 的面积最大时，实数 的值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列 的首项 ，公差 ，前 项和为 ， ，
（I）求数列 的通项公式；
（II）设数列 前 项和为 ，求
（18）（本小题满分12分）
某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有 名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的 两个小组所有同学所得分数（百分制）的茎叶图如图所示，其中 组一同学的分数已被污损，但知道 组学生的平均分比 组学生的平均分高 分．
（I）若在 组学生中随机挑选 人，求其得分超过 分的概率；
（II）现从 组这 名学生中随机抽取 名同学，设其分数分别为 ，
求 的概率．
（19）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥 的底面为菱形，
， ，
.
（I）求证：AB⊥PC；
（II）求点 到平面 的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知函数 （ R）．
（I）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（II）设函数 ．若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成
等腰直角三角形，直线 与以椭圆 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设 为椭圆 上一点，若过点M（2，0）的直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ，满足 （ 为坐标原点），求实数 的取值范围.
请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（22）（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形 内接于⊙ ，过点 作⊙ 的切线
交 的延长线于 ，已知 .
证明：（I） ；
（II） .
（23）（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴的正半轴重合，直线 的极坐标方程为： ，曲线 的参数方程为：
（I）写出直线 的直角坐标方程；
（II）求曲线 上的点到直线 的距离的最大值.
（24）（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
已知关于 的不等式 ，其解集为 .
（I）求 的值；
（II）若 ， 均为正实数，且满足 ，求 的最小值.
商丘市2015年第二次模拟考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
BACA CDBC DABD
二、填空题（每小题5分，共20分）
(13) (14) (15) (16)
三、解答题（共70分）
(17)解：（I） 等差数列 中 ，公差 ,
. ……………………………………………5分
. ………………………………………………………………6分
(II) , …………………………………………………8分
………………………………………10分
. …………………………………………………………………12分
(18)解：（Ⅰ）A组学生的平均分为 （分）， ………………………1分
∴ 组学生平均分为86分，设被污损的分数为x，由 ，
∴ ， ……………………………………………………………………………………3分
故 组学生的分数分别为93，91，88，83，75， ………………………4分
则在 组学生随机选1人所得分超过85分的概率 ． ………………6分
（Ⅱ）A组学生的分数分别是94，88，86，80，77，
在A组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件 有(94,88),(94,86),(94,80),
(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77)共10个，……8分
随机抽取2名同学的分数 满足 的事件有
(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6个．…………10分
故学生得分 满足 的概率 ． ……………………………12分
（19）（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ．
∵ ，∴ , ………1分
又四边形 是菱形，且 ，
∴ 是等边三角形，∴ . 又 ，∴ ，
又 ，∴ .
(II) .…………………6分
是边长为 的正三角形， 又 ,
, ,又 , 平面 ， …………8分
四边形 是菱形, 到平面 的距离相等，设为
, .
由 , , …………………………10分
. ………………………………………………12分
（20）解：（I） 时， ， ， ………1分
又 在点 处的切线斜率 ……………2分
切线方程为 ，即 .……………………………………4分
（II） ， ，
， ……………………………………………6分
依题意 ， ……………………………………………7分
令 ……………………………………………………8分
由 得 时， 在 上为增函数.………9分
…………………………………………………………10分
……………………………………………………………………………12分
（21）解：（Ⅰ）由题意，以椭圆 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
, ∴圆心到直线 的距离 （*）
∵椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴ , ， 代入(*)式得 ， ∴ ,
故所求椭圆方程为 ………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，设 ,
将直线方程代入椭圆方程得： ,
∴ ，∴ .
设 , ，则 .
由 ,
当 ,直线 为 轴， 点在椭圆上适合题意； ……………7分
当 ，得
∴ .…………………………………8分
将上式代入椭圆方程得： ，
整理得： ，由 知， ，………………10分
所以 ，……………………………………………11分
综上可得 . ………………………………………………12分
（22）解：（Ⅰ）∵ 与⊙ 相切于点 ，
∴ .……………………………………2分
又 ，
∴ ，
∴ . ……………………………………………5分
（Ⅱ）∵四边形 内接于⊙ ，
∴ . …………………………………………6分
又 ，
∴ ∽ .…………………………………………8分
∴ ，即 ，
∴ . ………………………………………10分
（23） 解：（Ⅰ） ， ，………………3分
，即 .……………………………5分
（Ⅱ）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为 ，
所以，曲线 上的点到直线 的距离
. …………………10分
解法二：曲线 为以 为圆心， 为半径的圆.圆心到直线的距离为 ，
所以，最大距离为 . ……………………………………………10分
（24） 解：（Ⅰ）不等式 可化为 ， ……………………1分
∴ ，即 ， …………………2分
∵其解集为 ，∴ ， .………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
（方法一：利用基本不等式）
∵ ，
∴ ，∴ 的最小值为 .………………………………10分
. （方法二：利用柯西不等式）
∵ ，
∴ ，∴ 的最小值为 .………………………………10分
（方法三：消元法求二次函数的最值）
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 . …………………………………………………10分
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