海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学（文） 2015.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， ，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
（A）
（B） 1 （C）
（D）
（3）已知函数 是奇函数，且当 时， ，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）“ ”是“角 是第一象限的角”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）若 满足 则下列不等式恒成立的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）
①
②
③
④
（A）①②③ （B）①②④ （C）②③④ （D）①②③④
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知单位向量 与向量 的夹角为 ，则 ________.
（10）若复数 ，且 ,则实数 =______．
（11）已知 为等差数列， 为其前 项和.若 ， ，则公差 ________； 的最小值为 .
（12）对于 ，以点 为中点的弦所在的直线方程是_____．
（13）设 对任意实数 ，关于 的方程 总有实数根，则 的取值范围是 .
（14）设全集 ，用 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如： 表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
①若 ，则 表示的6位字符串为 ；
②若 , 集合 表示的字符串为101001，则满足条件的集合 的个数是 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分）
已知数列 的前 项和为 , ，且 是 与 的等差中项.
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 的前 项和为 ,且对 , 恒成立,求实数 的最小值.
(16) （本小题满分13分）
某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：
分组（日销售量） 频率（甲种酸奶）
[ 0，10] 0.10
（10，20] 0.20
（20，30] 0.30
（30，40] 0.25
（40，50] 0.15
（Ⅰ）写出频率分布直方图中的 的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
（Ⅱ）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小；（只需写出结论）
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量.
（17）（本小题满分13分）
在 中， .
（Ⅰ）若 ，求 的大小；
（Ⅱ）若 ,求 的面积的最大值.
（18）（本小题满分14分）
如图1，在梯形 中， ， ， ，四边形 是矩形. 将矩形 沿 折起到四边形 的位置，使平面 平面 ， 为 的中点，如图2.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： //平面 ；
（Ⅲ）判断直线 与 的位置关系,并说明理由．
（19）（本小题满分13分）
已知椭圆 过点 ，且离心率 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若椭圆 上存在点 关于直线 对称,求 的所有取值构成的集合 ，并证明对于 ， 的中点恒在一条定直线上.
（20）（本小题满分14分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若存在两条直线 ， 都是曲线 的切线，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 ，求实数 的取值范围.
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（文）答案及评分参考 2015.4
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）C （3）D （4）B
（5）C （6）B （7）D （8）D
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9） （10）0 （11）12；-54
（12） （13） （14）100110；4
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ,
所以 . ………………1分
因为 是 与 的等差中项,
所以 , 即 .
所以 . ………………3分
所以 是以1为首项，2为公比的等比数列.
所以 . ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： .
所以 , .
所以 是以1为首项, 为公比的等比数列. ………………9分
所以 数列 的前 项和 . ………………11分
因为 ，
所以 .
若 ，当 时， .
所以 若对 , 恒成立，则 .
所以 实数 的最小值为2. ………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ） ； ………………2分
………………6分
（Ⅱ） . ………………9分
（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：
（箱）. ………………11分
乙种酸奶未来一个月的销售总量为： （箱）. ………………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）方法一：因为 且 ，
所以 . ………………2分
又因为 ， ………………4分
所以 .
所以 .
所以 . ………………6分
因为 ，
所以 为等边三角形.
所以 . ………………7分
方法二： 因为 ，
所以 . ………………1分
因为 ， ，
所以 .
所以 . ………………3分
所以 .
所以 .
所以 . ………………5分
因为 ，
所以 .
所以 ，即 . ………………7分
（Ⅱ）因为 ，且 ，
所以 .
所以 ………………9分
（当且仅当 时，等号成立）. ………………11分
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
所以 当 是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值 .
………………13分
（18）（共14分）
证明：（Ⅰ）因为 四边形 为矩形，
所以 .
因为 平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 . ………………3分
因为 平面 ，
所以 . ………………5分
（Ⅱ）证明：因为 四边形 为矩形，
所以 .
因为 ， ， ，
所以 平面 平面 . ………………7分
因为 平面 ，
所以 平面 . ………………9分
（Ⅲ）直线 与 相交，理由如下： ………………10分
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， .
所以 ，且 .
在矩形 中， 为 的中点，
所以 ，且 .
所以 ，且 .
所以 四边形 为平行四边形.
所以 ， . ………………12分
因为 四边形 为梯形， 为 的中点， ，
所以 ， .
所以 四边形 为平行四边形.
所以 ，且 .
所以 且 .
所以 是平行四边形.
所以 ，即 .
因为 ，
所以 四边形 是以 ， 为底边的梯形.
所以 直线 与 相交. ………………14分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 椭圆 过点 ，
所以 . ………………1分
因为 ，
所以 .
所以 椭圆 的方程为 ………………3分
（Ⅱ）方法一：
依题意得 .
因为 椭圆 上存在点 关于直线 对称，
所以 直线 与直线 垂直，且线段 的中点在直线 上.
设直线 的方程为 .
由 得 . ………………5分
由 ，
得 .（*）
因为 ， ………………7分
所以 的中点坐标为 .
又线段 的中点在直线 上，
所以 .
所以 . ………………9分
代入（*），得 或 .
所以 . ………………11分
因为 ，
所以 对于 ，线段 中点的纵坐标恒为 ，即线段 的中点总在直线 上.
………………13分
方法二：
因为 点 在直线 上，且 关于直线 对称，
所以 ，且 .
设 （ ）， 的中点为 .
则 . ………………6分
又 在椭圆 上，
所以 .
所以 .
化简，得 .
所以 . ………………9分
又因为 的中点在直线 上，
所以 .
所以 .
由 可得 .
所以 ，或 ，即 ，或 .
所以 . ………………12分
所以 对于 ，线段 中点的纵坐标恒为 ，即线段 的中点总在直线 上.
………………13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ） . ………………1分
当 时， ，则函数 的单调递减区间是 . ………………2分
当 时，令 ，得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下：
↘ 极小值 ↗
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 . ………………4分
（Ⅱ）因为 存在两条直线 ， 都是曲线 的切线，
所以 至少有两个不等的正实根. ………………5分
令 得 ，记其两个实根分别为 .
则 解得 . ………………7分
当 时，曲线 在点 处的切线分别为 ， .
令 .
由 得 （不妨设 ），且当 时， ，即 在 上是单调函数.
所以 .
所以 ， 是曲线 的两条不同的切线.
所以 实数 的取值范围为 . ………………9分
（Ⅲ）当 时，函数 是 内的减函数.
因为 ，
而 ，不符合题意. ………………11分
当 时，由（Ⅰ）知： 的最小值是 .
（ⅰ）若 ，即 时， ，
所以， 符合题意.
（ⅱ）若 ，即 时， .
所以， 符合题意.
（ⅲ）若 ，即 时，有 .
因为 ，函数 在 内是增函数，
所以 当 时， .
又因为 函数 的定义域为 ，
所以 .
所以 符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 . ……………… 14分
点击下载：北京市海淀区2015届高三4月期中练习（一模）数学文试题
