怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2015年高三第二次模考 理科数学
命题人：怀铁一中 丁亚玲 审题人：王 杏、刘 华、蒋晖林、张理科
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.
1．设集合 ， ，则集合 等于
A． B．
C． D．
2．复数 （其中 为虚数单位）的虚部等于
A． B． C． D．
3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为
A . 7 B. 6 C . 5 D.4
4．在 中，“ ”是“ 是直角三角形”的
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，
则正视图中的 的值是
A.2 B. C. D.3
6．若数列 满足 ， ，则称数列 为“梦想数列”. 已知正项数列 为“梦想数列”，且 ，则 的最小值是
A．2 B．4 C．6 D．8
7．定积分 的值为
A. B. C. D.2
8．已知双曲线 ，过其右焦点 作圆 的两条切线，切点分别
记作 、 ,双曲线的右顶点为 , ，其双曲线的离心率为
A． B． C． D．
9. 定义在 上的函数 满足： ， ， 是 的导函数，
则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为
A． B． C． D．
10．已知 ，曲线 恒过点 ，若 是曲线 上的动点，且 的最小值为 ，则 的值为
A. B. C.1 D.2
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
（一）选作题（请考生在11、12、13三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分）
11.在极坐标系中，定点 ，点 在直线 上运动，则线段 长度的最小值为__________．
12. 如图, 、 为圆 的两条割线,若 ，
， ， ，则 .
13.若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 .
（二）必做题（14~16题）
14.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布 ，已
知 ，估计该班学生数学成绩在115分以上的有_______ 人.
15. 已知点 满足条件 （ 为常数），若 的最大值为8，则 .
16.设 是定义在 上的增函数，对于任意的 都有 恒成立，若实数 满足 ，则 的取值范围是________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)
已知向量 ， ，其中 ，若函数 的最小正周期为 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）如果 的三边 所对的角分别为 ，且满足 ,
求 的值.
18．（本小题满分12分）
从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：
（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；
（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率；
（Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为 ，求 的概率分布列和数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱 中，侧面 ⊥底面 ，侧棱 与底面 成60°的角， ．底面 是边长为2的正三角形，其重心为 点， 是线段 上一点，且 ．
（Ⅰ）求证： //侧面 ；
（Ⅱ）求平面 与底面 所成
锐二面角的正切值．
20．（本小题满分12分）
已知数列 是等差数列，数列 是等比数列， ，且对任意的 ，都有 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 的首项为3，公比为3，设 ，且对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
21．(本小题满分13分)
已知抛物线 ： 的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线 相交于M、N两点，且|MN|=4．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）若点P是抛物线 上的动点，点B、C在y轴上，圆 内切于 ，求 面积的最小值．
22．(本小题满分13分)
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的 ，求证： ．
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2015年高三二模 理科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A C B A D A C
二、填空题
11、 ； 12、6； 13、 ；
14、 8 ； 15、 ； 16、 .
三、解答题
17解：（Ⅰ）因为
……………………… 2分
由 的周期为 得 ，即 ………… 4分
由 解得 ，
所以 的单调增区间为 ………………… 6分
（Ⅱ）由已知 及余弦定理 可知
………………… 8分
因为 ， 所以 ………………… 10分
所以 ………………… 12分
18解：（Ⅰ）至少有一名女同学的概率为 …………… 4分
（Ⅱ）同学甲被选中的概率为
则同学甲被选中且通过测试的概率为0.3×0.7=0.21 ………… 8分
（Ⅲ）根据题意， 的可能取值为0、1、2、3，
， ，
所以， 的分布列为：
…………… 12分
19解法1：（Ⅰ）延长B1E交BC于点F，
∽△FEB，BE= EC1， ∴BF= B1C1= BC，
从而点F为BC的中点．
∵G为△ABC的重心， ∴A、G、F三点共线． 且 ，
又GE 侧面AA1B1B， ∴GE//侧面AA1B1B…………… 5分
（Ⅱ）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA1B1B⊥底面ABC， ∴B1H⊥底面ABC．
又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，
∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，
又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH ．
在Rt△B1HT中， ，
从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为 …………… 12分
解法2：（Ⅰ）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，
又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．
以O为原点建立空间直角坐标系O— 如图，
则 ， ， ，
， ， ．
∵G为△ABC的重心，∴ ．
，∴ ，
∴ ．
又GE 侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B． …………… 5分
（Ⅱ）设平面B1GE的法向量为 ，则由 得
可取 又底面ABC的一个法向量为
设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为 ，则 ．
由于 为锐角，所以 ，进而 ．
故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为 …………… 12分
20解：（Ⅰ）因为 ，
当 时， ，
两式相减，得 （ ），
又当 时， ，适合上式，
从而 （ ） …………… 5分
（Ⅱ）因为数列 的首项为3，公比为3，故 ， ，
所以 ．
因为对任意的 ，都有 成立，
即 恒成立，
化简得 …………… 9分
当 为奇数时， 恒成立，所以 ，即 ，
当 为偶数时， 恒成立，所以 ，即 ，
综合可得 …………… 13分
21解：（Ⅰ）已知 ，则过点F且斜率为1的直线方程为 ．
联立 消去y得： ，
设 ，则 ，
所以 |MN|= =4， 解得p=1．
所以抛物线 的方程为 ………………………… 5分
（Ⅱ）设 ，不妨设b>c，
直线PB的方程为 ，
化简得 ，又圆心（1,0）到直线PB的距离为1，
故 ，即 ，
不难发现 ，上式又可化为 ，
同理有 ， 所以b，c可以看做关于t的一元二次方程
的两个实数根，则 ，
所以
因为点 是抛物线 上的点，所以 ，则 ，
又 ，所以 ．
所以 ，
当且仅当 时取等号，此时 ，
所以 面积的最小值为8 ………………………… 13分
22解：（Ⅰ） ，
当 时， 恒成立，则函数 在 上单调递增，
此时函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，由 ，得 ，
由 ，得 ，
此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 …………… 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当m≤0时，f（x）在 上递增，f（1）=0，显然不成立；
当m＞0时，
只需 即可， 令 ，
则 ，
得函数 在（0,1）上单调递减，在 上单调递增．
∴
对 恒成立，也就是 对 恒成立，
∴ ，解 ，
∴若 在 上恒成立，则 …………… 8分
（Ⅲ）证明： ，
由（Ⅱ）得 在 上恒成立，
即 ，当且仅当 时去等号，又由 得 ，
所以有 ， 即 ．
则 ，
则原不等式 成立 …………… 13分
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