四川省资阳市2015届高三第三次模拟考试数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
(A) (B)
(C) (D)
2．复数z满足 ，则z＝
(A) (B) (C) (D)
3．已知 ，则下列不等式一定成立的是
(A) (B) (C) (D)
4．下列说法中，正确的是
(A) ，
(B)命题p： ， ，则 ： ，
(C)在△ABC中，“ ”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件
(D)已知 ，则“ ”是“ ”成立的充分不必要条件
5．设实数x，y满足 则 的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
6．如图所示的程序框图表示求算式“ ”的值，则判断框内可以填入
(A)
(B)
(C)
(D)
7．已知函数 ( ， ， )的部分图象如图所示，下列说法正确的是
(A) 的图象关于直线 对称
(B) 的图象关于点 对称
(C)将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
(D)若 方程 在 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张. 则不同的取法的共有
(A) 135 (B) 172 (C) 189 (D) 216
9．如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝2，则该双曲线的离心率为
(A) (B)
(C)2 (D)3
10．设m是一个非负整数，m的个位数记作 ，如 ， ， ，称这样的函数为尾数函数．给出下列有关尾数函数的结论：
① ；
② ，若 ，都有 ；
③ ；
④ ．
则正确的结论的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 ， ，则 _________．
12．函数 则使 的x值的集合是___________．
13．已知P为抛物线 上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是 ，则 的最小值为__________．
14．如图1，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD－A1 B1Cl D1的棱AA1、BB1、DD1的中点，点M、N、P、Q分别在线段AG、 CF、BE、C1D1上运动，当以M、N、P、Q为顶点的三棱锥Q－PMN的俯视图是如图2所示的正方形时，则点P到QMN的距离为__________．
15．已知8个非零实数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，向量 ， ， ， ，给出下列命题：
①若a1，a2，…，a8为等差数列，则存在 ，使 ＋ ＋ ＋ 与向量 共线；
②若a1，a2，…，a8为公差不为0的等差数列，向量 ， ， ，则集合M的元素有12个；
③若a1，a2，…，a8为等比数列，则对任意 ，都有 ∥ ；
④若a1，a2，…，a8为等比数列，则存在 ，使 • ＜0；
⑤若m＝ • ，则m的值中至少有一个不小于0．
其中所有真命题的序号是________________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查．活动结束后，团委会对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：
年龄（岁） [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 m n 15 10 7 3
知道的人数 4 6 12 6 3 2
表中所调查的居民年龄在[10,20)，[20,30)，[30,40)的人数成等差数列．
(Ⅰ)求上表中的m，n值，若从年龄在[20,30)的居民中随机选取两人，求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率；
(Ⅱ)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座，记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
17.（本小题满分12分）
已知向量 ， ，函数 ．
(Ⅰ)求 在区间 上的零点；
(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，△ABC的面积 ，当x＝A时，函数 取得极大值，求 的值．
18.（本小题满分12分）
已知数列{an}，{bn}满足：a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝ ( ).
(Ⅰ)若{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn；
(Ⅱ)若{an}是等差数列，且an≠0，问：{bn}是否是等比数列？若是，求{an}和{bn}的通项公式；若不是，请说明理由．
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABB1A1⊥底面ABC， ，∠A1AB＝120°，D、E分别是BC、A1C1的中点．
(Ⅰ)试在棱AB上找一点F，使DE∥平面A1CF；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角A－A1C－F的余弦值．
20．（本小题满分13分）
已知动点P到定点 的距离和它到定直线 的距离的比值为 ．
(Ⅰ)求动点P的轨迹的方程；
(Ⅱ)若过点F的直线与点P的轨迹相交于M，N两点(M，N均在y轴右侧)，点 、 ，设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围．
21.（本小题满分14分）
已知函数 (aR)．
(Ⅰ)当a＝2时，求函数 在(1, f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数 的单调区间；
(Ⅲ)若函数 有两个极值点 , ( )，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
资阳市高中2012级高考模拟考试
数学参考答案及评分意见（理工类）
一、选择题：BAACD，BDCCB．
二、填空题：11. ；12. ；13. ；14. ；15. ①③⑤.
三、解答题：
16.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)由题 解得 ， ．
记选取的两人至少有一人知道灭火器使用方法为事件A，
则 ． 4分
(Ⅱ)随机变量 的所有可能值为0，1，2，3．
则 ，
，
，
． 10分
所以 的分布列是：
P
11分
所以 的数学期望 ． 12分
17.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)
． 3分
由 ，得 (k∈Z)，则 (k∈Z)，
因为 ，所以 在区间 上的零点是 ， ． 6分
(Ⅱ)根据题意 ，即 ，所以 (k∈Z)，
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
根据余弦定理 ，得 ，
所以 ，所以 ． 12分
18.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)因为a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝ ，
则 时，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝ ，
两式相减，得anbn＝n•2n(n≥2)，
当n＝1时，a1b1＝2，满足上式，所以anbn＝n•2n(nN*)，
又因为{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，则bn＝ ，所以an＝2n，
故数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ． 6分
(Ⅱ)设{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由(Ⅰ)得 ， 7分
则 8分
．
故当 时，数列{bn}是等比数列，公比为2，此时an＝na1， ； 10分
当 时，数列{bn}不是等比数列． 12分
19.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)F是AB的中点，证明如下：
连结DF，又因为D、E分别是BC、A1C1的中点，
所以DF∥= AC，又AC∥=A1C1，且A1E＝ A1C1，
则DF∥=A1E，故四边形A1FDE是平行四边形，
所以DE∥A1F，又A1F平面A1CF，DE平面A1CF，
所以DE∥平面A1CF． 4分
(Ⅱ)由题∠AA1B1＝60°，设A1A＝2，则A1B1＝1，
所以 ，
则 ，所以A1B1⊥AB1，
过点B1作平面A1B的垂线B1z，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系．
有 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面A1CF，平面A1AC的法向量分别为 ， ，
由 即 取 ，
由 即 取 ，
所以 ，
所以二面角A－A1C－F的余弦值为 ． 12分
20．（本小题满分13分）
解析：(Ⅰ)设动点 ，则 ，
化简得 ． 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)，轨迹是以 为焦点，离心率为 的椭圆，如图，连结OM、ON，设直线MN方程为 ，点 ， ，
联立 消去x，得 ，
则 ， ，
所以 ，
由于M，N均在y轴右侧，则 ， ，且 ，
则
， 8分
令 ，则 ，则
【或利用 求面积S，解法如下：
，则 ，
． 8分】
方法一、 ，
故面积函数 在单调递减，所以 ，
所以面积S的取值范围是 ．
方法二、 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
则 ，即 ，
所以面积S的取值范围是 ． 13分
21.（本小题满分14分）
解析：(Ⅰ)当a＝2时， ， ，
则 ， ，所以切线方程为 ． 4分
(Ⅱ) ( )，令 ，得 ，
(1)当 ，即 时， ，函数 在 上单调递增；
(2)当 ，即 时，由 ，得 ，
①若 ，由 ，得 或 ；由 ，得 ；
②若 ，则 ，函数 在 上递减，在 上递增；
③若 ，则函数 在 上递减，在 上递增．
综上，当 时， 的单调递增区间是 ；
当 时， 的单调递增区间是 ， ；单调递减区间是 ；
当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，函数 有两个极值点 , ，则 ，
由 ，得 ，则 ， ， ，
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