怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2015年高三第二次模考 文科数学
命题人：怀铁一中 龚开玖 审题人：丁立红、周寒辉、包小青、张理科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.
1. 已知集合 ， ，则 为
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是
A．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；
B．命题“ ”的否定是“ ”；
C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题；
D．“ ” 是“ ”的必要不充分条件.
3. 设 （ 为虚数单位），则 的共轭复数为
A． B． C． D．
4．对任意非零实数 ，定义 的算法原理
如右侧程序框图所示.设 ， ,则计算
机执行该运算后输出的结果是
5.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，
则正视图中的 的值是
A.2 B. C. D.3
6. 定义在R上的奇函数 满足 ，
当 时， ，则 在区间 内是
A.减函数且 B.减函数且
C.增函数且 D.增函数且
7.若正项数列 满足 ,且 ，则
的值为
A．2015×1010 B．2015×1011 C．2016×1010 D．2016×1011
8.设 、 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 ，使 ,则椭圆离心率 的取值范围是
A. B. C. D.
9.已知非零向量 满足 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
10.定义域为 的函数 ,若关于 的函数
有5个不同的零点 ， ， ， ， ，则 等于
A.15 B.20 C.30 D.35
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.
11.在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离是 .
12.已知 为由不等式组 所确定的平面区域上的动点，若点 ，则 的最大值为 .
13.已知命题 : ，命题 : 若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是 .
14. 式子 的值为 .
15．设函数 定义域为 ，若存在非零实数 ，使得对任意 ,都有 ，且 成立，则称 为 上的“ 频函数”. 若 为区间 上的“ 频函数”，则 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分12分)
设函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期及值域；
（Ⅱ）已知 中，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，求 的面积．
17．(本小题满分12分)
在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生 表2：女生
等级 优秀 合格 尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进
频数 15 5 频数 15 3
（Ⅰ）从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；
（Ⅱ）由表中统计数据填写右边 列联表，并判断
是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．
参考数据与公式： ，其中 ．
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
临界值表：
18．(本小题满分12分)
如图，四棱锥 中， 是正三角形，四边形 是矩形，且面 面 , , .
(Ⅰ) 若点 是 的中点，求证： 面 ；
(Ⅱ) 若点 在线段 上，且 ,
求三棱锥 的体积.
19．(本小题满分13分)
已知数列 是等差数列，数列 是等比数列， ，且对任意的 ，都有 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 的首项为3，公比为3，设 ，且对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
20．(本小题满分13分)
已知抛物线的顶点是坐标原点 ，焦点 在 轴正半轴上，抛物线上一点 到焦点距离为4，过点 的直线 与抛物线交于 两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若点 在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是 ，且 ，点 是以 为直径的圆与准线的一个公共点，求点 的纵坐标的取值范围．
21. (本小题满分13分)
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 在 处的切线方程；
（Ⅱ）若 在 上为单调函数，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若在 上至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷
2015年高三二模 文科数学参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B D B A A B C
二、填空题：
11、 ； 12、4； 13、 ； 14、 ； 15、 .
16解： （Ⅰ） = …… 3分
所以 的最小正周期为 ………………… 4分
∵ ∴ ， 故 的值域为 …………… 6分
（Ⅱ）由 得 ，
又 ，得 ………………… 8分
由余弦定理，得 = ，又 ， ，
所以 ，解得 ……………… 10分
所以 的面积 …………………12分
17解：（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出 人，则 ， ，
∴ …………… 2分
表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为 ，尚待改进的 人为 ，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为： ， ， ， ， ， ，
， ， ， 共10种 ………………… 4分
设事件 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，
则 的结果为： ，共6种……………6分
∴ ， 故所求概率为 ………………… 8分
男生 女生 总计
优秀 15 15 30
非优秀 10 5 15
总计 25 20 45
（Ⅱ）
∵ ， ，
而 …………………11分
所以没有 的把握认为“测评结果优秀与性别有关” …………………12分
18解：（Ⅰ）连接AC，设 , 。
在
………… 5分
(Ⅱ)
,
所以 …………………12分
19解：（Ⅰ）因为 ，
所以 当 时， ，
两式相减，得 （ ），
又当 时， ，适合上式，
从而 （ ） ………………… 6分
（Ⅱ）因为数列 的首项为3，公比为3，故 ， ，
所以 ．
因为对任意的 ，都有 成立，
即 恒成立，
化简得 ………………… 8分
当 为奇数时， 恒成立，所以 ，即 ………10分
当 为偶数时， 恒成立，所以 ，即 ……12分
综合可得 ………………… 13分
20解：（Ⅰ）设抛物线方程为 ………………… 1分
由题意可得： ………………… 3分
所求抛物线方程为 …………………………4分
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，
联立抛物线消去 ，得 ，即 ．
设 ，则 ， ，
所以 ，
………………………… 7分
由条件可设 的坐标为 ，
则
．
所以 或 ， 而 ，
所以 或 ……………………10分
根据抛物线的定义可知，以 为直径的圆与抛物线的准线相切，
所以点 的纵坐标为 ，
从而点 的纵坐标的取值范围是 …………………… 13分
21解： （Ⅰ）切线方程为 …………………4分
(Ⅱ).
∵ 在其定义域内为单调函数，
∴ 或者 在[1，＋∞）恒成立．
或者 在[1，＋∞）恒成立 ……………………… 7分
∴m的取值范围是 ……………………………8分
（Ⅲ）构造 ，
则转化为：若在 上存在 ，使得 ，求实数 的取值范围………9分
①当 在 上恒成立。
………………………10分
②当k>0时，
………………………12分
综上：k的取值范围是 ………………………13分
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