2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合 ， ，则 ________．
2．抛物线 的焦点到准线的距离是______________．
3．若 ，其中 、 ， 是虚数单位，则 _________．
4．已知函数 ，若 ， 且 ，则 的取值范围是_______．
5．设等差数列 满足 ， ， 的前 项和 的最大值为 ，则 =__________．
6．若 （ ），且 ，则
_______________．
7. 已知对任意 ，向量 都是直线 的方向向量，设数列
的前 项和为 ，若 ，则 _____________．
8．已知定义在 上的单调函数 的图像经过点 、 ，若函数 的反函数为 ，则不等式 的解集为 ．
9. 已知方程 在 上有两个不相等的实数解，则实数 的取
值范围是____________．
10. 随机变量 的分布律如下表所示，其中 ， ， 成等差数列，若 ，则 的值
是___________．
11．现有 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 张.从中任取 张,要求这 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 张．则不同取法的种数为__________．
12. 在平面直角坐标系 中，点 和点 满足 按此
规则由点 得到点 ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若 ，
向量 与 的夹角为 ，其中 为坐标原点，则 的值为____________．
13. 设定义域为 的函数 若关于 的函数
有 个不同的零点，则实数 的取值范围是____________．
14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
，若 ，则 ________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在△ 中，“ ”是“ ”的……………………………………（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知平面直角坐标系内的两个向量 ， ，且平面内的任一向
量 都可以唯一的表示成 为实数），则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．极坐标方程 （ ）表示的图形是…………………………（ ）
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
18．在四棱锥 中， ， 分别为侧棱 ， 的中点，则四面体 的体积与四棱锥 的体积之比为……………………………………………（ ）
A． B． C． D．
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在△ 中，已知 ，外接圆半径 ．
（1）求角 的大小；
（2）若角 ，求△ 面积的大小.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥 的底面 为菱形， 平面 ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角大小的余弦值．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 与时刻 （时）的关系为 ， ，其中 是与气象有关的参数，且 ．若用每天 的最大值为当天的综合污染指数，并记作 ．
（1）令 ， ，求 的取值范围；
（2）求 的表达式，并规定当 时为综合污染指数不超标，求当 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，点 ，过点 且与 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 ．
（1）求证：△ 是等边三角形；
（2）若过 、 、 三点的圆恰好与直线 ： 相切，求椭圆 的方程；
（3）设过（2）中椭圆 的右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与 交于 、 两点， 是点 关于 轴的对称点．在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列 中， ， ， 的前 项和为 ，且满足
（ ）．
（1）试求数列 的通项公式；
（2）令 ， 是数列 的前 项和，证明： ；
（3）证明：对任意给定的 ，均存在 ，使得当 时，（2）中的 恒成立．
2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（理）参考答案与评分标准
一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）
1． 或 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11．
12． 13． 14．
二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
15．B 16．D 17．C 18．C
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
（1）由题意， ，
因为 ，所以 ，故 ，……（2分）
解得 （舍），或 ． ………………（5分）
所以， ． ………………（6分）
（2）由正弦定理， ，得 ，所以 ． ………（2分）
因为 ，由 ，得 ， …………（4分）
又 ，所以△ 的面积 ． …………（6分）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）连结 ，由已知得△ 与△ 都是正三角形，
所以， ， ， ………………（1分）
因为 ∥ ，所以 ，……………（2分）
又 平面 ，所以 ，……（4分）
因为 ，所以 平面 ．…（6分）
（2）以 为原点， ， ， 所在直线
分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
由（1）知平面 的一个法向量为 ，
又 ， ， ， ，
所以 ， ，……（2分）
设平面 的一个法向量为 ，
由 得
取 ，则 ，故 ， …………（4分）
设 与 的夹角为 ，
则 ．…………（7分）
所以，平面 与平面 所成的锐二面角大小的余弦值为 ．……（8分）
（2）解法二（图略）
在平面 上，过 作 ∥ 且 ，连结 ，则四边形 是平行四边形，即直线 是平面 与平面 的交线．………………（2分）
因为 ， ，所以 平面 ，故 ，
所以 ，又 ，所以 就是平面 与平面 所成二面角的平面角． …………（5分）
在 △ 中， ， ，…………（6分）
． ……………………（7分）
所以，平面 与平面 所成的锐二面角大小的余弦值为 ．……（8分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
（1）当 时， ； ………………（2分）
当 时，因为 ，所以 ， ……………………（4分）
即 的取值范围是 ． ……………………………………（5分）
（2）当 时，由（1），令 ，则 ， …………（1分）
所以 ………………（3分）
于是， 在 时是关于 的减函数，在 时是增函数，
因为 ， ，由 ，
所以，当 时， ；
当 时， ，
即 ………………………………（6分）
由 ，解得 ． ………………………………（8分）
所以，当 时，综合污染指数不超标． …………………………（9分）
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）设 （ ），由 ， ，故 ， ，
因为 ，所以 ， …………（1分）
，故 ，……（2分）
又 ，故由 得 ，所以， ．……（3分）
所以， ， ，即△ 是等边三角形．………（4分）
（2）由（1）知， ，故 ，此时，点 的坐标为 ，……（1分）
又△ 是直角三角形，故其外接圆圆心为 ，半径为 ，…………（3分）
所以， ， ， ， ， ……………………（5分）
所求椭圆 的方程为 ． ……………………（6分）
（3）由（2）得 ，因为直线 过 且不与坐标轴垂直，故可设直线 的方程为：
， ． ………………（1分）
由 得 ， ………………（2分）
设 ， ，则有 ， ，……（3分）
由题意， ，故直线 的方向向量为 ，
所以直线 的方程为 ， ………………（4分）
令 ，得
．…（5分）
即直线 与 轴交于定点 ．
所以，存在点 ，使得 、 、 三点共线． ………………（6分）
（注：若设 ，由 、 、 三点共线，得 ，
得 ．）
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（1）由 （ ），得 （ ），
所以 （ ）， 即 （ ） ……………………（2分）
又 ，所以
． ……………………（4分）
（2） ，………………（2分）
所以，
． …………………………………………………………（5分）
所以， ．
（3）由（2）， ，因为 ，所以 随着 的增大而增大． ………………………………………………（1分）
若 ，则 ，化简得 ， …………（2分）
因为 ，所以 ，所以 ，
， ……………………………………（4分）
当 ，即 时，取 即可． …………（5分）
当 ，即 时，记 的整数部分为 ，
取 即可． ……………………………………………………………（7分）
综上可知，对任意给定的 ，均存在 ，使得当 时，（2）中的 恒成立． ……………………………………（8分）
点击下载：上海市嘉定区2015届高三第二次质量调研（二模）数学理
