闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数 学 试 卷（理科）
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．
2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．本试卷共有23道试题．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．用列举法将方程 的解集表示为 ．
2．若复数 满足 （其中 为虚数单位），则 ．
3．双曲线 的两条渐近线的夹角的弧度数为 .
4．若 ，且 ，则 ．
5．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线 于 、 两点，则 = .
6．已知等比数列 满足 ，则 = .
7. 设二项式 的展开式的二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，且 ，则 的值为 .
8． 是从集合 中随机抽取的一个元素,记随机变量 ,则 的数学期望 .
9．给出条件：① ，② ，③ ，④ ．函数 ，对任意 ，能使 成立的条件的序号是 ．
10．已知数列 满足 ，则使不等式 成立的所有正整数 的集合为 ．
11．斜率为 的直线与焦点在 轴上的椭圆 交于不同的两点 、 .若点 、 在 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .
12．函数 在区间 内无零点，则实数 的范围是 .
13．如图，已知点 ，且正方形 内接于 ： ， 、 分别为边 、 的中点.当正方形 绕圆心 旋转时， 的取值范围为 ．
14．已知函数 ， ，若对任意的 ，均有 ，则实数 的取值范围是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．如果 ，那么下列不等式成立的是 ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )
(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.
17．函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的最大值是( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
18． 如图，已知直线 平面 ，垂足为 ，在
中， ，点 是边 上的动点.
该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1) ，
(2) .则 的最大值为 ( )
(A) . (B) . (C) . (D) .
三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
如图，已知圆锥的底面半径为 ，点Q为半圆弧 的中点，点 为母线 的中点．若直线 与 所成的角为 ，求此圆锥的表面积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．
设三角形 的内角 所对的边长分别是 ，且 ．
若 不是钝角三角形，求：(1) 角 的范围；(2) 的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前 个月的需求量 （万吨）与 的函数关系为 ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第 个月石油调出后，油库内储油量 （万吨）与 的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定 的取值范围．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分．
已知两动圆 和 （ ），把它们的公共点的轨迹记为曲线 ,若曲线 与 轴的正半轴的交点为 ，且曲线 上的相异两点 满足： ．
(1) 求曲线 的方程；
(2)证明直线 恒经过一定点，并求此定点的坐标；
(3)求 面积 的最大值．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分7分．
各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ，都有 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）如果等比数列 共有 项，其首项与公比均为 ，在数列 的每相邻两项 与 之间插入 个 后，得到一个新的数列 ．求数列 中所有项的和；
（3）如果存在 ，使不等式 成立，求实数 的范围．
闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准（文理）
一. 填空题 1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5．（理） ，（文） ；
6．（理） ，（文） ； 7．（理）4，（文） ；8．(理) ，(文) ；9．④；
10．(理) ，(文) 等； 11． ； 12．(文理) ；
13．（理） ，（文） ；14．（文理） ．
二. 选择题 15． B； 16． D； 17．B； 18． C．
三. 解答题
19．[解] 取OA的中点M,连接PM,又点P为母线 的中点
所以 ，故 为 与 所成的角．………………………2分
在 中， ， ，………………………4分
由点Q为半圆弧 的中点知 ，
在 中，
故 ，所以 ， ． ………………………8分
所以 ， ………………10分
．…………………………………12分
20．[解] （1）因为 ， …………………………………2分
由 得： …………………………………4分
（2） …………………………………6分
（ ）……………10分
当 时，
当 时， …………………………………12分
所以 . …………………………………14分
21．[解](1)由条件得 ，所以 2分
，（ ）． …………………………………6分
（２）因为 ，
所以 恒成立 ………………………8分
恒成立 ………………………10分
设 ，则：
恒成立，
由 恒成立得
（ 时取等号） ………………………12分
恒成立得 （ 时取等号）
所以 ． ………………………14分
22．[解]（1）（文理）设两动圆的公共点为Q，则有： ．由椭圆的定义可知 的轨迹为椭圆， ．所以曲线 的方程是： ．…4分
（2）（理）证法一：由题意可知： ，设 ， ,
当 的斜率不存在时，易知满足条件 的直线 为： 过定点 ………………………6分
当 的斜率存在时，设直线 ： ，联立方程组：
，把②代入①有： ……………8分
③， ④，
因为 ，所以有 ，
，把③④代入整理：
，（有公因式m-1）继续化简得：
， 或 （舍），
综合斜率不存在的情况，直线 恒过定点 ． ………………………10分
证法二：（先猜后证）由题意可知： ，设 ， ,
如果直线 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在 轴上，设为 ；
取特殊直线 ，则直线 的方程为 ，
解方程组 得点 ，同理得点 ，
此时直线 恒经过 轴上的点 （只要猜出定点的坐标给2分）……2分
下边证明点 满足条件
当 的斜率不存在时，直线 方程为： ，
点 的坐标为 ，满足条件 ；………………………8分
当 的斜率存在时，设直线 ： ，联立方程组：
，把②代入①得：
③， ④，
所以
………………………10分
（文）由条件 ，知道 , ， = ,
,得直线 : , ………………………6分
解方程组 可得 , ……………………………8分
,直线 : ,
所以交点 ． ……………………………10分
（3）（理） 面积 = =
由第(2)小题的③④代入，整理得： ……………………………12分
因 在椭圆内部，所以 ,可设 ，
……………………………14分
， ( 时取到最大值)．
所以 面积 的最大值为 ． …………………………………………16分
（注：文科第（3）小题的评分标准参照理科第（2）小题）
23． [解] （1）（文理）当 时，由 得 …………1分
当 时，由 ， 得
因数列 的各项均为正数，所以 ………………………………3分
所以数列 是首相与公差均为 等差数列
所以数列 的通项公式为 ． ………………………………4分
（2）（理）数列 的通项公式为 ……………………5分
当 时，数列 共有
项，其所有项的和为
………………………………8分
当 时，数列 共有
项，其所有项的和为
……………………………11分
（文）数列 的通项公式为 …………………………5分
数列 中一共有
项，其所有项的和为
……8分
……………………………11分
（3）（理）由 得
……………………………13分
记
由
递减（或 ）………………………15分
得 ，
所以实数 的范围为 ,即 ． ……………………………18分
(文) 由 得
……………………………13分
记
因为 ，当 取等号，所以 取不到
当 时， 的最小值为
（ ）递减， 的最大值为 …………15分
所以如果存在 ，使不等式 成立
实数 应满足 ，即实数 的范围应为 ．………………………18分
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