房山区2015年高三第一次模拟试题
高三数学(理科)
考
生
须知 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I卷 选择题（共40分）
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。
1. 已知集合 ， ，则 为( )
A．
B．
C．
D．
2．双曲线 的实轴长是虚轴长的2倍，则 =（ ）
A．4 B．2 C．
D．
3. 设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．从 名学生中选出 名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 已知二次函数 ，则“ ”是“函数 在 上为增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．一个棱长为 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．向量 ， ，若 与 的夹角等于 ，则 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．一个人骑车以 米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车 米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻 的速度 米/秒，那么此人（ ）
A．可在 秒内追上汽车
B．不能追上汽车,但其间最近距离为16米
C．不能追上汽车,但其间最近距离为 米
D．不能追上汽车,但其间最近距离为 米
第II卷 非选择题(共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡指定位置。
9．已知复数 满足 ，则复数 ．
10．执行如下图所示的程序框图，若输入 的值为8，则输出 的值为 ．
11．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 的
大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该正方形区域内随机地
投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 ．
12．如图所示，圆 的割线 交圆 于 、 两点，割线 经过圆心．
已知 ， ， ．则圆 的半径 ．
13．已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为坐标原点，则 面积的最小值为 ，此时，直线 的方程为 ．
14．已知函数 是 上的偶函数，对 ，都有 成立．当 ， ，且 时，都有 ，给出下列命题：（1） ；（2）直线 是函数 图象的一条对称轴；（3）函数 在 上有四个零点；（4） .其中所有正确命题的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15．（本小题共13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ 中，三个内角 的对边分别为 ，已知 ，且△ 外接圆的半径为 ，求 的值.
16.（本小题共13分）
为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前 组的频率之比为 ， 其中第 组的频数为 .
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；
（Ⅱ） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设 表示体重超过 公斤的学生人数，求 的分布列和数学期望.
17.（本小题共14分）
在如图所示的多面体中， ⊥平面 ， ⊥平面ABC，
，且 ， 是 的中点．
（Ⅰ）求证： ⊥ ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱 上是否存在一点 ,使得直线 与平面
所成的角为 ．若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本小题共13分）
已知 ，其中 ．
(Ⅰ)若函数 在点 处切线斜率为 ，求 的值；
(Ⅱ)求 的单调区间；
(Ⅲ)若 在 上的最大值是 ，求 的取值范围．
19.（本小题共14分）
动点 到定点 的距离与它到定直线 的距离之比为 .
(Ⅰ) 求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ） 已知定点 ， ，动点 在直线 上，作直线 与轨迹 的另一个交点为 ,作直线 与轨迹 的另一个交点为 ，证明： 三点共线.
20．（本小题共13分）
下表给出一个“等差数阵”：
4 7 （ ） （ ） （ ） …
…
7 12 （ ） （ ） （ ） …
…
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …
…
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …
…
… … … … … … … …
…
…
… … … … … … … …
其中每行、每列都是等差数列， 表示位于第 行第 列的数.
（I）写出 的值；
（II）写出 的计算公式；
（III）证明：正整数 在该等差数阵中的充要条件是 可以分解成两个不是 的正整数之积..
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参考答案
一、选择题（每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C B D A D
二、填空题（每题5分，共30分）
9． ; 10. 8; 11. ; 12. 8 ； 13. ;
14. （1）（2）（4）
三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分）
15． （本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵ ………………2分
= ………………3分
由 Z)得， Z) 5分
∴ 的单调递增区间是 Z) ………………7分
（Ⅱ）∵ ， ，
于是
∴ ………………10分
∵ 外接圆的半径为
由正弦定理 ，得
， ………………13分
16．（本小题共13分）
解：（I）设报考飞行员的人数为 ,前三小组的频率分别为 ，则由条件可得：
解得，
又因为 故 ………………5分
(II)由（I）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为
，
∴随机变量 的分布列为：
则 ，或 ．
………………13分
17．（本小题共14分）
（I）证明： 是 的中点 ．
又 平面 ， ．
平面
∴ ………………4分
（Ⅱ）以 为原点，分别以 , 为x，y轴，如图建立坐标系 ，
则
设平面 的一个法向量 ，则
取 所以
设平面 的一个法向量 ，则
取 ，所以
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 . ………………9分
（Ⅲ）设 且 ,
若直线 与平面 所成的角为 ，则
解得： ，所以符合条件的点 存在，为棱 的中点. ………………14分
18．（本小题共13分）
解：(Ⅰ)由题意得f ′(x)＝－ax2－a－1xx＋1，x∈(－1，＋∞)，
由f ′(3)＝0⇒a＝14． ………………3分
(Ⅱ)令f ′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝1a－1，
①当0<a<1时，x1<x2，
f(x)与f ′(x)的变化情况如下表
x (－1,0) 0 (0，1a－1)
1a－1
(1a－1，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x)
f(0)
f(1a－1)
∴f(x)的单调递增区间是(0，1a－1)，
f(x)的单调递减区间是(－1,0)和(1a－1，＋∞)；
②当a＝1时，f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)；
③当a>1时，－1<x2<0
f(x)与f ′(x)的变化情况如下表
x (－1，1a－1)
1a－1
(1a－1,0)
0 (0，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x)
f(1a－1)
f(0)
∴f(x)的单调递增区间是(1a－1,0)，
f(x)的单调递减区间是(－1，1a－1)和(0，＋∞)．
综上，当0<a<1时，f(x)的单调递增区间是(0，1a－1)．
f(x)的单调递减区间是(－1,0)，(1a－1，＋∞)，
当a>1，f(x)的单调递增区间是(1a－1,0)．
f(x)的单调递减区间是(－1，1a－1)，(0，＋∞)．
当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)． ………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
当0<a<1时，f(x)在(0，＋∞)的最大值是f(1a－1)，
但f(1a－1)>f(0)＝0，所以0<a<1不合题意，
当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由f(x)≤f(0)可得f(x)在[0，＋∞)上的最大值为f(0)＝0，符合题意，
∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1． ………………13分
19．（本小题共14分）
解： (Ⅰ)由题意得 ， ………………2分
化简并整理，得 .
所以动点 的轨迹 的方程为椭圆 . ………………5分
（Ⅱ）当 时，点 重合，点 重合，
三点共线. ………7分
当 时
根据题意：
由
消元得：
整理得：
该方程有一根为 另一根为 ,根据韦达定理，
由
消元得：
整理得：
该方程有一根为 另一根为 ,根据韦达定理，
当 时，由
得： ， 三点共线；
当 时， ，
；
， 三点共线.
综上，命题恒成立. ………………14分
20．（本小题共13分）
（I）解：a45=49. ………………3分
（II）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j－1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j－1），
……
第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列，
因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j. ………………7分
（III）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j，
从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），
从而N=k（2l+1）+l=akl，
可见N在该等差数阵中.
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积
………………13分
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