江西省八所重点中学2015届高三4月联考数学（理）试题
一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 如果 为纯虚数，则实数 等于（ ）
A.0 B. -1或1 C. -1 D. 1
3. 在△ 中, 是 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.数列{ }的前 项和 ，若p-q=5,则 = （ ）
A. 10 B. 15 C. -5 D.20
5.对任意非零实数 、 ,若 的运算原理如图所示，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6.在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，若 在 内的概率为 ，则落在 内的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.函数 的部分图象如图所示，
则 + + + 的值为（ ）
A.0 B.3 C.6 D.-
8.若 ，则 的值是（ ）
A．-2 B.-3 C.125 D.-131
9.已知圆 ： ，圆 ： ，椭圆 ： ，若圆 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A. B. C. D.
10.定义在 上的函数 对任意 、 都有 ，且函数 的图象关于 成中心对称，若 ， 满足不等式 ．则当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.正三角形 的边长为 ，将它沿高 翻折，使点 与点 间的距离为 ，此时四面体 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
12.在平面直角坐标系中，点 是直线 上一动点，定点 , 点 为 的中点，动点 满足 , ,过点 作圆 的切线，切点分别为 ,则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.计算： = .
14.已知点 的距离相等，则 的最小值为 .
15.如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 、 在圆 上，
且点 位于第一象限，点 的坐标为（ ）， ．
若 ，则 的值为 .
16.用 表示自然数 的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9, ，10的因数有1,2,5,10, ,那么 = .
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)
17.（本小题12分）已知 ，集合 = ，把 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 .
18. (本题12分)如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， 侧面 ，△ 是等边三角形， ， ， 是线段 的中点．
（1）求证： ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值．
19. (本题12分)已知集合 ，函数 的定义域、值域都是 ，且对于任意 ， . 设 是 的任意一个排列，定义数表 ，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表.
（1）求满足条件的不同的数表的张数;
(2)若 ( )，从所有数表中任意抽取一张，记 为表中 的个数，求 的分布列及期望.
20．(本题12分)已知椭圆C: （ ）的离心率 = ，且过点M（1， ）
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C长轴两端点分别为A、B,点P为椭圆上异于A、B的动点，定直线 与直线PA、PB分别交于M、N两点，又E(7，0)，过 E、M、N三点的圆是否过 轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
21. (本题12分)已知
（1）若 在定义域内单调递增，求 的取值范围;
（2）当 =-2时，记 得极小值为 。若 ，求证： .
请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分
22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲.
如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦， 的平分线AC
交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于Q点，
(1)求证: ;
（2）若AQ=6，AC=5.求弦AB的长. （第22题图）
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数). 在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为 .
(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
(2)若点P坐标 ，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
（1）已知函数 ，求x的取值范围，使 为常函数；
（2）若 求 的最大值。
江西省八所重点中学2015届高三联考数学（理科）试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C D B B A C B D A A
13 . 0 14. 15. 16 .
17.解：（1） ……（3分）
又 ……（6分）
（2） ……（7分）
……（10分）
得证 ……（12分）
18.解：（1）证明：因为 侧面 ， 平面 ，
所以 ．…………2分
又因为△ 是等边三角形， 是线段 的中点，
所以 ．
因为 ，
所以 平面 ．……4分
而 平面 ，
所以 ．………5分
（2）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
则 ， ， ， ．
， ， ．
设 为平面 的法向量．
由 即
令 ，可得 ．……9分
设 与平面 所成的角为 ．
．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ． ……12分
19.解：（1）9 = ……5分
（2） p( =1) = ,
p( =2) =
p( =3) = ……9分
因此， 的分布列如下：
1 2 3
P
E =2 ……12分
20．解：（1） ………5分
(2)设PA,PB的斜率分别为 , ，则 ………7分
则PA: ，则
PB: ,则
又 ，
………10分
设圆过定点F(m,o),则 ，则m=1或m=7(舍)
故过点E、M、N三点的圆是以MN为直径的圆过点F（1,0）………12分
解：21.解：（1）
依题意 恒成立，
令
在 单调递减，且 ，
在区间 上存在唯一零点 ………3分
在 上单调递增，在 上单调递减。
由 得 ………5分
（2）当 时，
，
令
,显然 在区间 单调递减,
又 ,
故存在唯一实数 ,使得
在 上单调递增，在 上单调递减。
即 在 上单调递增，在 上单调递减。
又 ,
,
由 知 ,
在( )上单调递减,在( )上单调递增.
不妨设 由 ,则
令 ，
则 =
= ………8分
又 在 上单调递减，所以 < = = =0
在 上单调递减， < =0,即：
又 = < = ……9分
又 在 上单调递减
………12分
22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 1
证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴
∵ ∴
∴AC=BC=5
由切割线定理得：
∴ ------------5分
（2） 由AC=BC=5，AQ=6 及（1）， 知 QC=9
由 知 ∽
∴ ∴ . ----------10分
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
解： (1)由 得直线l的普通方程为 --------2分
又由 得圆C的直角坐标方程为
即 . ---------5分
(2) 把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 ，即
由于 ，故可设 是上述方程的两实数根，
所以 又直线l过点P ，A、B两点对应的参数分别为
所以 . ------10分
24．解：
（1） ………..4分
则当 时， 为常函数. ………..5分
（2）由柯西不等式得:
所以
因此M的最大值为3.
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