湖南省益阳市2015届高三4月调研考试理科数学试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量a=(1,-2),b=(3,0),若（2a+ b）∥(ma- b)，则m的值为
A． B． C． D．
3．已知函数 的零点为 ， 则 所在的区间是
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
4．设 ，则二项式 展开式中含 项的系数是
A．80 B．640 C．-160 D．-40
5．执行如图所示的程序框图，若输出s的值为70，则判断框内可填入的条件是
A．i 错误！未找到引用源。5 B．i <5 C．i 错误！未找到引用源。5 D．i 5
6．已知实数 、 满足不等式组 ，则 的最小值是
A． B． C．5 D．9
7．给出下列两个命题：命题 ： ,当 时， ；命题 ：函数 是偶函数.则下列命题是真命题的是
A． B． C． D．
8.十字路口车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，小张上班经过的某十字路口某时间段内车流量变化近似符合函数 （ 的单位是辆/分， 的单位是分），则下列时间段内车流量增加的是
A． B． C． D．
9．已知直线 ： 与双曲线： 有交点，则实数 的取值范围是
A.（- ，- )∪( ，+ ） B. （- , ）
C. [- , ]∪[ , ] D. [- ， ]
10.已知函数 的图象为曲线C，给出以下四个命题：
①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；
②对于曲线C上任意一点 ，在曲线C上总可以找到一点 ，使 和 的等差中项是同一个常数；
③设函数 ，则 的最小值是0；
④若 在区间 上恒成立，则a的最大值是1.其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数).在极坐标系 （与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点,以 轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为 ，若直线l平分圆C的周长，则 = ．
12．已知 R, ， ，则M的最大值是 ．
13．如图，已知ＰA是圆 的切线，切点为A，ＰO交圆 于点B，圆 的半径为2， ，则ＰA的长为 ．
（二）必做题（14～16题）
14．如图是某几何体的三视图，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长
为3的正方形，则此几何体的体积等于 .
15．设二次函数 的导函数为 ，对任意 R，不等式 恒成立，则 的最大值为 .
16. 已知 为合数，且 ，当 的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为 的“衍生质数”.
⑴若 的“衍生质数”为2，则 ；
⑵设集合 ， ，则集合 中元素的个数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且 .
(Ⅰ) 求角A的大小；
(Ⅱ) 若a＝3， ，求△ABC的面积.
18．（本小题满分12分）
某校举行中学生“珍爱地球•保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答
错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为 ，且相互间没有影响.
（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为 ，试求 的分布列和数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F=2FE.
（Ⅰ）证明：平面DFC 平面D1EC；
（Ⅱ）求二面角A-DF-C的平面角的余弦值.
20．（本小题满分13分）
已知数列 的首项 ，其前 和为 ，且满足： ( N*)．
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)对任意的 N*， ，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分13分）
已知M（ ，0），N（2，0），曲线C上的任意一点P满足: ．
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)设曲线C与x轴的交点分别为A、B，过N的任意直线(直线与x轴不重合)与曲线C交于R、Q两点,直线AR与BQ交于点S.问:点S是否在同一直线上?若是,请求出这条直线的方程；若不是,请说明理由.
22．（本小题满分13分）
已知函数 （其中 为常数）.
(Ⅰ)当 时，求函数的单调区间；
(Ⅱ)当 时，对于任意大于1的实数 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)当 时，设函数 的3个极值点为 ，且 .
求证： .
益阳市2015届高三四月调研考试参考答案
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B 2．A 3．C 4．A 5．A
6．B 7．B 8．C 9．D 10．C
二、填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11．-3 12． 13．
（二）必做题（14～16题）
14. 9 15．4 16．20,30
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ) 由 得
得 ，所以 ……4分
，
所以 ，所以A＝π3. ……6分
(Ⅱ) 因为b＝2c.所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝4c2＋c2－94c2＝12，解得c＝3，∴b＝23.
……10分
所以S△ABC＝12bcsin A＝12×23×3×32＝332.
……12分
18.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件 ，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为： ；
或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛 ，或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛， ，
选手甲进入复赛的概率 . ……6分
(Ⅱ) 的可能取值为3,4,5，对应 的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率
……9分
的分布列为：
X 3 4 5
P
……12分
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).
∵E为AB的中点，∴E点坐标为E(1,1,0),
∵D1F=2FE，∴ ,
∴ ……3分
设 是平面DFC的法向量，则 ,
∴ ，
取x=1得平面FDC的一个法向量 ……5分
设 是平面ED1C的法向量，则 ,
∴ ，取y=1得平面D1EC的一个法向量 ,
∵
∴平面DFC 平面D1EC. ……8分
（Ⅱ）设 是平面ADF的法向量，则 ,
∴ ，取y=1得平面ADF的一个法向量 , ……10分
设二面角A-DF-C的平面角为 ，由题中条件可知 ，
则cos =-| |= ,
∴二面角A-DF-C的平面角的余弦值为- . ……12分
20.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)由条件 ，
两式相减得 ， ……2分
故 ，
两式再相减得 ，
构成以 为首项，公差为4的等差数列；
构成以 为首项，公差为4的等差数列；………5分
又 ，
所以 ；由条件 得 ，得 ，
从而 ， ………8分
（Ⅱ）对任意的 N*， ，
当 时，由 ，有 得 ………①；
当 时，由 ，有 ，
即
若 为偶数，则 得 ………②；
若 为奇数，则 得 ………③.
由①、②、③得： . ……13分
21.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)设点 ，得 。
代入 ，化简得 。所以曲线C的方程为 ……4分
(Ⅱ)（1）当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，将直线方程代入曲线 中，化简得 。设点 ，利用根与系数的关系得 。……6分
在曲线C的方程中令y=0得 ，不妨设 ，则 ，则直线 。
同理直线 。 ……8分
由直线方程 ，消去 ，
得
所以点S是在直线 上。 ……12分
（2）当直线的斜率不存在时，则直线方程为 。可得点 的横坐标为 。
综合（1）（2）得，点S是在同一条直线 上。 ……13分
22.（本小题满分13分）
解：(Ⅰ) ，令 可得 ，
易得单调减区间为 ，增区间为 .………3分
（Ⅱ）当 时，由 ，可得 恒成立，
令 ，则 ，
， 。
（ⅰ）当 时， 恒成立，所以 在 上是增函数，
所以当 时， 满足题意，则 。
（ⅱ）当 时，令 解得 。
当 时， 在 上是减函数
当 时， ，不合题意，舍去。
综上可得实数 的取值范围 。………7分
(Ⅲ)由已知 ，对于函数 ，有 ,所以函数 在 上递减，在 上递增。因为 有3个极值点 。从而 所以 。
当 时， ， ，
∴ 函数 的递增区间有 和 ，递减区间有 ， ， ，
此时，函数 有3个极值点，且 ；
∴当 时， 是函数 的两个零点，
即有 ，消去 有 。令 ，
则 有零点 ，且 。所以函数 在 上递减，在 递增。
要证明： ，
又因为 ，所以即证 ，
构造函数 ，因为 ，只需证明 单调递减即可。而 ，又 。
所以 在 上单调递增，所以 ，
∴当 时， 。…………13分
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