2015届高三年级第一次模拟考试
数学试题(理科)
(满分150分,考试时间120分钟)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知集合 , ,则集合
A. B. C. D.
2.已知向量 ,若 ,则 等于
A. B. C. D.
3. 若命题 : ,则 :
A. B.
C. D.
4.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为
A.a km B.2a km
C.2a km D.3a km
5.某程序框图如图所示,若输出的S = 57,则判断框内应为
A.k>5? B.k>4?
C.k>7? D.k>6?
6.过点 可作圆 的两条切线,则实数 的取值范围为
A. 或 B.
C. 或 D. 或
7. 若 ,若 的最大值为 ,则 的值是
A. B. C. D.
8.函数 ,若 ,则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
9.已知函数 ,其中 为实数,若 对 恒成立,
且 ,则 的单调递增区间是
A. B.
C. D.
10.已知等比数列 的公比 且 ,又 ,则
A. B.
C. D.
11.已知椭圆 , 为其左、右焦点, 为椭圆 上任一点, 的重心为 ,内心 ,且有 (其中 为实数),椭圆 的离心率
A. B. C. D.
12.已知函数 ,其导函数为 .
① 的单调减区间是 ; ② 的极小值是 ;
③当 时,对任意的 且 ,恒有
④函数 有且只有一个零点.其中真命题的个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.设 (其中e为自然对数的底数),则 的值为 _________.
14.在平面直角坐标系 中,已知 的顶点 和 ,顶点 在双曲线 上,则 为___________.
15.设 是不等式组 表示的平面区域内的任意一点,向量 ,若 ,则 的最大值为 .
16.已知函数 ,若数列 满足 ( ),且 是递增数列,则实数 的取值范围是 ___________.
三、解答题
17.(本小题满分10分)
已知 是函数 图象的一条对称轴.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)化简 的解析式,并作出函数 在 上的图象简图(不要求写作图过程).
18.(本小题满分12分)
已知等差数列{ }的公差 ,它的前n项和为 ,若 ,且 成等比数列,
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式;
(Ⅱ)若数列{ }的前n项和为 ,求证: .
19.(本小题满分12分)
在 中,内角 、 、 所对的边分别为 ,其外接圆半径为6, ,
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)求 的面积的最大值.
20.(本小题满分12分)
在直角坐标系 中,以原点 为圆心的圆与直线 相切.
(Ⅰ)求圆 的方程;
(Ⅱ)若已知点 ,过点 作圆 的切线,求切线的方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(Ⅰ)用 表示出 , ;
(Ⅱ)若 在 上恒成立,求 的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知椭圆 : 的一个焦点为 ,左右顶点分别为 , .
经过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)当直线 的倾斜角为 时,求线段 的长;
(Ⅲ)记 与 的面积分别为 和 ,求 的最大值.
高三数学 (理科)参考答案及评分标准
一、选择题
1. D; 2. D;3. A;4. D;5. B;6. D ;7. A;8. A ;9. C ;10. A ;11.A ;12. C .
二、填空题
13. ;14. 54;15. 5 ;16.(2,3).
三、解答题
17. (本小题满分10分)
解:(I)方法1: , ………………2分
∵ 是函数 图象一条对称轴,∴ , …………… 4分
即 ,∴ ; ………………6分
方法2:∵ ,∴ 最值是 ,
………………2分
∵ 是函数 图象的一条对称轴,∴ ,
………………4分
∴ ,
整理得 ,∴ ; ………………6分
(II) ………………7分
在 上的图象简图如下图所示. ………………10分
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由已知, , ………………2分
又 成等比数列,
由 且 可
解得 , ………………4分
,
故数列{ }的通项公式为 ; ………………6分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ), ………………7分
, ………………9分
显然, . ………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解: ,
………………3分
,……………………6分
(Ⅱ) , 即 .
又 . ………………………………8分
. ……………………10分
而 时, . …………………………………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2=r2, …………………………1分
由题可知,半径即为圆心到切线的距离,故r=44=2, ……………………3分
∴圆的方程是x2+y2=4; ………………………………4分
(Ⅱ) ∵|OP|=32+22=13>2,∴点P在圆外.
显然,斜率不存在时,直线与圆相离. ……………………………6分
故可设所求切线方程为y-2=k(x-3),
即kx-y+2-3k=0. ……………………………8分
又圆心为O(0,0),半径r=2,
而圆心到切线的距离d=|-3k+2|k2+1=2,即|3k-2|=2k2+1, ………………9分
∴k= 或k=0, …………………………………11分
故所求切线方程为12x-5y-26=0或y-2=0. ……………………12分
21.(本小题满分12分)
解: (Ⅰ) , ………………………………………1分
由题设,则有 , …………………………3分
解得 . ………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
令 ,
则 , ………………………………………5分
……………7分
①当 ,
若 ,则 , 是减函数,
所以,当 时,有 , 即 ,
故 在 上不能恒成立. ……………………………9分
②当 时,有
若 ,则 , 在 上为增函数.
所以,当 时, , 即 ,
故当 时, . ……………………………………11分
综上所述,所求 的取值范围为 ……………………12分
22.(本小题满分12分)
解:(I)因为 为椭圆的焦点,所以 又
所以 所以椭圆方程为 …………………………3分
(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 ,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为 ,和椭圆方程联立得到
,消掉 ,得到 …………………………5分
所以
所以 …………………………6分
(Ⅲ)当直线 无斜率时,直线方程为 ,
此时 , 面积相等, …………7分
当直线 斜率存在(显然 )时,设直线方程为 ,
设
和椭圆方程联立得到 ,消掉 得
显然 ,方程有根,且 ………………8分
此时
………………………………10分
因为 ,上式 ,( 时等号成立)
所以 的最大值为 ………………………………12分
另解:(Ⅲ)设直线 的方程为: ,则
由 得, .
设 , ,
则 , . ………………8分
所以, , ,
……………………10分
当 时, .
由 ,得 .
当 时,
从而,当 时, 取得最大值 .…………………………12分
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