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2015绥化市重点中学高三一模数学理试题及答案

来源:3773高考 2015-4-18 10:27:18

2015届高三年级第一次模拟考试
数学试题(理科)
(满分150分,考试时间120分钟)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知集合 , ,则集合
A.            B.           C.            D.
2.已知向量 ,若 ,则 等于
   A.    B.    C.    D.
3. 若命题 : ,则 :
A.       B.                               
C.        D.
4.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为
A.a km     B.2a km   
C.2a km     D.3a km
5.某程序框图如图所示,若输出的S = 57,则判断框内应为
A.k>5?           B.k>4?     
C.k>7?           D.k>6?       
6.过点 可作圆 的两条切线,则实数 的取值范围为
A. 或                B.      
C.  或            D. 或
7. 若 ,若 的最大值为 ,则 的值是
A.             B.           C.          D.
8.函数 ,若 ,则下列不等式一定成立的是
A.      B.    C.     D.
9.已知函数 ,其中 为实数,若 对 恒成立,
且  ,则 的单调递增区间是 
A.           B.
 C.         D.
10.已知等比数列 的公比 且 ,又 ,则
A.       B.
 C.        D.
11.已知椭圆 , 为其左、右焦点, 为椭圆 上任一点, 的重心为 ,内心 ,且有 (其中 为实数),椭圆 的离心率
 A.       B.        C.      D.  
12.已知函数 ,其导函数为 .
① 的单调减区间是 ;     ② 的极小值是 ;
③当 时,对任意的 且 ,恒有
④函数 有且只有一个零点.其中真命题的个数为
 A.1个    B.2个    C.3个    D.4个
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.设  (其中e为自然对数的底数),则 的值为 _________.        
14.在平面直角坐标系 中,已知 的顶点 和 ,顶点 在双曲线 上,则 为___________. 
15.设 是不等式组 表示的平面区域内的任意一点,向量 ,若 ,则 的最大值为         .
16.已知函数 ,若数列 满足 ( ),且 是递增数列,则实数 的取值范围是 ___________.
三、解答题
17.(本小题满分10分)
已知 是函数 图象的一条对称轴.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)化简 的解析式,并作出函数 在 上的图象简图(不要求写作图过程).

 

 

 

 

 

 

18.(本小题满分12分)
已知等差数列{ }的公差 ,它的前n项和为 ,若 ,且 成等比数列,
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式;
(Ⅱ)若数列{ }的前n项和为 ,求证: .
19.(本小题满分12分)
在 中,内角 、 、 所对的边分别为 ,其外接圆半径为6,  ,
(Ⅰ)求 ;   
(Ⅱ)求 的面积的最大值.

20.(本小题满分12分)
在直角坐标系 中,以原点 为圆心的圆与直线 相切.
(Ⅰ)求圆 的方程;
(Ⅱ)若已知点 ,过点 作圆 的切线,求切线的方程.

21.(本小题满分12分)
已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(Ⅰ)用 表示出 , ;
(Ⅱ)若 在 上恒成立,求 的取值范围.

22.(本小题满分12分)
已知椭圆 : 的一个焦点为 ,左右顶点分别为 , .
经过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)当直线 的倾斜角为 时,求线段 的长;
(Ⅲ)记 与 的面积分别为 和 ,求 的最大值.

 

 

 


高三数学 (理科)参考答案及评分标准
一、选择题
1. D; 2. D;3. A;4. D;5. B;6. D ;7. A;8. A  ;9. C ;10. A ;11.A ;12. C . 
 
二、填空题
13. ;14. 54;15. 5 ;16.(2,3).
三、解答题
17. (本小题满分10分)
解:(I)方法1: ,               ………………2分
∵ 是函数 图象一条对称轴,∴ ,  …………… 4分
即 ,∴ ;             ………………6分
方法2:∵ ,∴ 最值是 ,
                                                  ………………2分
∵ 是函数 图象的一条对称轴,∴ , 
                                                  ………………4分
∴ ,
整理得 ,∴ ;                    ………………6分
(II)                            ………………7分
 在 上的图象简图如下图所示.           ………………10分

 

 

 

 

 

18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由已知, ,                 ………………2分
又 成等比数列,
由 且 可
解得 ,                                    ………………4分
 ,
故数列{ }的通项公式为 ;       ………………6分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ),          ………………7分
 ,                 ………………9分
 
显然, .                              ………………12分


19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:   , 
                           ………………3分
 
 ,……………………6分
(Ⅱ)  , 即 .  
又 .                 ………………………………8分
   .        ……………………10分 
而 时, .       …………………………………………12分


20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设圆的方程为x2+y2=r2,                …………………………1分
由题可知,半径即为圆心到切线的距离,故r=44=2,  ……………………3分
∴圆的方程是x2+y2=4;                 ………………………………4分
(Ⅱ) ∵|OP|=32+22=13>2,∴点P在圆外.
显然,斜率不存在时,直线与圆相离.        ……………………………6分
故可设所求切线方程为y-2=k(x-3),
即kx-y+2-3k=0.                        ……………………………8分
又圆心为O(0,0),半径r=2,
而圆心到切线的距离d=|-3k+2|k2+1=2,即|3k-2|=2k2+1,    ………………9分
∴k= 或k=0,                          …………………………………11分
故所求切线方程为12x-5y-26=0或y-2=0.     ……………………12分


21.(本小题满分12分)
  解: (Ⅰ) ,             ………………………………………1分
由题设,则有 ,     …………………………3分
解得 .               ………………………………………4分
 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
令 , 
则  ,                    ………………………………………5分 
   ……………7分
①当  ,
  若  ,则 , 是减函数,
所以,当 时,有 , 即 ,
故 在 上不能恒成立.    ……………………………9分
②当 时,有
  若 ,则 , 在 上为增函数.
所以,当 时, ,     即 ,
故当 时, .      ……………………………………11分
     综上所述,所求 的取值范围为     ……………………12分

22.(本小题满分12分)
解:(I)因为 为椭圆的焦点,所以 又
         所以 所以椭圆方程为    …………………………3分
(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 ,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为 ,和椭圆方程联立得到
 ,消掉 ,得到   …………………………5分
所以
      所以      …………………………6分
(Ⅲ)当直线 无斜率时,直线方程为 ,
此时 ,   面积相等,   …………7分
      当直线 斜率存在(显然 )时,设直线方程为 ,

和椭圆方程联立得到 ,消掉 得
显然 ,方程有根,且  ………………8分
此时 
         ………………………………10分
因为 ,上式 ,( 时等号成立)
所以 的最大值为                    ………………………………12分

另解:(Ⅲ)设直线 的方程为:  ,则
由   得, .
设 , ,
则 , .             ………………8分
所以, , ,
    ……………………10分
当 时,   .
由 ,得  .
当 时,
从而,当 时, 取得最大值 .…………………………12分
点击下载:黑龙江省绥化市重点中学2015届高三第一次模拟考试数学理试题



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