绝密★启用前 试卷类型：A
茂名市2015年第二次高考模拟考试
数学试卷（理科） 2015.4
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁. 考试结束后，将答题卷交回。
参考公式：锥体的体积公式是： ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高。
第一部分 选择题（共40分）
一、 选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 设集合 , ,则 = （ ）.
A． B． C． D．
2. 复数 为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）.
A． B． C． D．
3. 若离散型随机变量 的分布列为
则 的数学期望 ＝( ).
A．2 B．2或 C． D．1
4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.
A． B． C． D．4
5. 设变量 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）.
A. -3 B. -1 C．13 D．-5
6. 已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 ( ).
A． 2 B．3 C．4 D．5
7. 在△ 中, , ,则△ 的面积为（ ）.
A．3 B． C．6 D．4
8. 若函数 在实数集 上的图象是连续不断的，且对任意实数 存在常数 使得
恒成立，则称 是一个“关于 函数”．现有下列“关于 函数”
的结论：①常数函数是“关于 函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③
是一个“关于 函数”．其中正确结论的个数是 ( ).
A．1 B．2 C．3 D．0
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题：（考生作答6小题，每小题5分，共30分）
（一）必做题（9～13题）
9. 不等式 的解集为 .
10. 已知 是定义在 上的奇函数，当 >0 时,
＝1＋ ，则 ＝ .
11. 如图所示的流程图，若输入 的值为2，则输出 的值为 .
12. 已知直线 与曲线 相切于点(1，3)，
则 的值为 .
13. 已知抛物线 与双曲线 有相
同的焦点 ， 是坐标原点，点 、 是两曲线的交点，若
，则双曲线的实轴长为 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分）。
14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为 ,以极点为原点,极轴为 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 的参数方程为 ( 为参数),则圆心到直线 的距离为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图， 是圆 的切线，切点为 ，点
在圆 上， ， ，则圆 的面积为 .
三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分）
16. （本小题满分12分）
已知函数 图象的一部分如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ， ,
,求 的值.
17. （本小题满分12分）
从某企业的某种产品中随机抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品中质量指标值落在区间 内的产品件数；
（2）以这500件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取2件，记产品质量指标值落在区间 内的件数为 ，求随机变量 的概率分布列.
18. （本小题满分14分）
在四棱锥 中, 平面 , ,底面 是梯形, ∥ ，
（1）求证:平面 平面 ;
（2）设 为棱 上一点, ,试确定
的值使得二面角 为60º.
19. （本小题满分14分）
已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，且有 , 点 在直线 上.
（1）求数列 的通项公式；
（2）试比较 与 的大小,并加以证明.
20. （本小题满分14分）
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆 过点 ，
离心率为 ，过直线 上一点 引椭圆 的两条切线，切点分别是 、 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若在椭圆 上的任一点 处的切线方程是 .求证：直线 恒过定点 ，并求出定点 的坐标；
（3）是否存在实数 ，使得 恒成立？(点 为直线 恒过的定点)若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分14分）
设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）设 是函数 图象上任意不同的两点，线段 的中点为C ，直线AB的斜率为 . 证明： ；
（3）设 ，对任意 ，都有
，求实数 的取值范围.
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茂名市2015年第二次高考模拟考试
数学试卷（理科）参考答案及评分标准
一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C B A C D B
提示：8. ① ③正确，①对任一常数函数 ，存在 ,有
所以有 ，所以常数函数是“关于 函数”②“关于2函数”为
，当函数 不恒为0时有 与 同号
定义在实数集 上的函数 的图象是连续不断的， 图象与 轴无交点，即无零点。③对于 设存在 使得 ，即存在 使得 ，也就是存在 使得 ，也就是存在 使得 ，此方程有解，所以③正确。
二、填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）
9. ； 10. ； 11. 7 ；12. 3； 13. ； 14. 2 ； 15.
提示:13. 抛物线 与双曲线 有相同的焦点 ， 点的坐标为（1，0）， ， ⊥ 轴.设 点在第一象限，则 点坐标为（1，2）设左焦点为 ，则 =2,由勾股定理得 ，由双曲线的定义可知 .
三、解答题（本大题共80分）
16. 解：（1）由图象可知 ， …………………………………………………………1分
. ………………………3分
. ………………………4分
（2）∵ ∴ ，………………6分
又∵ ∴ ，……………8分
∵ ，
. ………………………………………10分
∴
………………………………12分
17. 解：（1）产品质量指标值落在区间 内的频率为（0.022+0.033）×10=0.55
∴质量指标值落在区间 内的产品件数为0.55×500=275 …………………4分
（2）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间 内的概率为
0.1， …………………………………………………………………………………6分
由题意可得: ～B(2,0.1)
∴ ,
,
.
∴ 的概率分布列为
0 1 2
P 0.81 0.18 0.01
…………………………12分
18. （1）证明：∵ 平面 ，
∴
在梯形 中，过点作 作 ，
在 中，
又在 中，
.……3分
.
………………………………5分
.
…………………………………………………………………………6分
……………………………………………7分
（2）法一：过点 作 ∥ 交 于点 ,过点 作 垂直于 于点 ,连 . ……8分
由（1）可知 平面 , 平面 , ,
平面 , ，
是二面角 的平面角，
…………………10分
‖ ，
，
由（1）知 = , ，又
∥ ……12分
，
. …………………………………14分
（2）法二：以 为原点, 所在直线为
轴建立空间直角坐标系 (如图)
则 .
令 ,则
. …………………………………………………………………9分
平面 , 是平面 的法向量. ………………………10分
设平面 的法向量为 .
则 ，即 即 .
令 ,得 ………………………………………………………12分
二面角 为 ,
∴ 解得 ,
在棱 上, 为所求. ……………………………………14分
19. 解：(1)当 时, ， 解得： …………………………………1分
当 时, ，
则有 ，即：
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列. ……………………………………3分
∴ . …………………………………………………………………4分
(2) ∵点 在直线 上
∴ . …………………………………………………5分
因为 ①,所以 ②.
由①-②得, ,
所以 . ……………8分
因为
所以确定 与 的大小关系等价于比较 与 的大小. ………………9分
当 时， ; 当 时, ；
当 时, ; 当 时,
可猜想当 时, ……………………………………………………10分
证明如下:当 时,
. ………………………………………13分
综上所述, 当 时, ；
当 时, ;
当 时, . ………………………………………………14分
20、解：（1）由椭圆 过点 ，可得 ………………………1分
又 ， …………………………………………………………………2分
解得： . ……………………………………………………………………3分
所以椭圆 方程为 . …………………………………………………………4分
（2）设切点坐标为 , ,直线 上一点 的坐标 ，
则切线方程分别为 ， ……………………………………5分
又因为两切线均过点 ，则 ………………………………6分
即点 的坐标都适合方程 ，而两点确定唯一的一条直线，
故直线 的方程是 ……………………………………………………………7分
显然对任意实数 ，点（1，0）都适合这个方程，故直线 恒过定点 ………8分
（3）将直线 的方程 ，代入椭圆方程，得
，即 ，…………………………9分
所以 …………………………………………………10分
不妨设 ，
因为 ，同理 ……11分
所以 …12分
即 …………………………………………………………13分
故存在实数 ，使得 恒成立. …………………………14分
21、解：（1）当 时， ，定义域为
…………………………………………………………2分
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
综上， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ……………… 4分
（2）证明： ，……………………………………………………5分
又 ，所以 ，………………………………6分
要证 ,
即证 ，
不妨设 ，即证 ,即证 ，
设 ，即证： , ……………………………………………7分
也就是要证： ，其中 ，
事实上：设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，因此 ，即结论成立. …………………9分
（3）由题意得 ，即 ，
若设 ，则 在 上单调递减，……………………………………10分
①当 时， ，
，
在 恒成立，
设 ，则 ，
当 时，
在 上单调递增， ，
………………………………………………………………………………………12分
②当 时， ，
，
在 恒成立，
设 ， ，
即 在 单调递增，故 ，
，
综上所述： . …………………………………………………………………………14分
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