2015年一模测试
数 学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）设复数 （ 是虚数单位），则 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知 中，内角A，B，C的对边分别为 ,若 ， ，则 的面积为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）2
(5)已知 ， ，则函数
为增函数的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为
，则判断框中填写的内容可以是( )
（A） （B） （C） （D）
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某多
面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ，若 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数，① 对任意的 ，恒有 ；② 当 时，总有 成立，则下列函数不是 函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）在平面直角坐标系中，若 满足 ，则当 取得最大值时，点 的坐标是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（11) 已知双曲线 与函数 的图象交于点 ，若函数 在点 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（12）若对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
（A） （B）1 （C）2 （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
（13）函数 ( )的单调递增区间是__________．
（14） 的展开式中常数项为 ．
(15) 已知定义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ，则不等式 的解集是 ．
（16）同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、 ，则 的值是 ．
三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
（17）(本小题满分12分)
已知数列 中， ，其前 项的和为 ，且满足 .
(Ⅰ) 求证：数列 是等差数列；
(Ⅱ) 证明：当 时， .
（18）(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝ ，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点 分别为为AB和PD中点.
(Ⅰ)求证：直线AF 平面PEC ；
(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
（19）(本小题满分12分)
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 5 7 9 8
乙班 4 8 9 7 7
(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？
(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 和 ，试求 和 的分布列和数学期望.
（20） （本小题满分12分）
已知椭圆 : 的上顶点为 ，且离心率为 ，.
(Ⅰ) 求椭圆 的方程；
（Ⅱ）证明：过椭圆 : 上一点 的切线方程为 ；
（Ⅲ）以圆 上一点 向椭圆 引两条切线，切点分别为 ,当直线 分别与 轴、 轴交于 、 两点时，求 的最小值.
（21）（本小题满分12分）
若定义在 上的函数 满足 ，
，
（Ⅰ）求函数 解析式；
（Ⅱ）求函数 单调区间；
（Ⅲ）若 、 、 满足 ，则称 比 更接近 .当 且 时，试比较 和 哪个更接近 ，并说明理由。
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示， 为圆 的直径， ， 为
圆 的切线， ， 为切点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若圆 的半径为2，求 的值.
(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）
（Ⅰ）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知 ，圆 上任意一点 ，求 面积的最大值.
(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
201５年大连市高三一模测试
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；（9）D；（10）D；（11) A；
（12）D．
二.填空题
（13） ；（14） ；(15) ；（16） .
三.解答题
（17）解：（Ⅰ）当 时， ，
，从而 构成以1为首项，2为公差的等差数列。6分
（Ⅱ）由（1）可知， ，
当 时，
从而
（18）解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.
∵点F为PD中点，∴ . ∵ ，∴ ，
∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，
∵ ，∴直线AF 平面PEC. ……………6分
(Ⅱ) ，
如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E( ,0,0),
A( ， ，0)，
∴ ， .
设平面PAB的一个法向量为 .
∵ ， ，∴ ，取 ，则 ，
∴平面PAB的一个法向量为 .
∵ ，∴设向量 ∴ ，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为 ..……………12分
（19）解：解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，
甲班的方差 ，
乙班的方差 ，
因为 ，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定.
(Ⅱ) 可能取0,1,2
， ， ，
所以 分布列为：
0 1 2
P
数学期望
可能取0,1,2
， ， ，
所以 分布列为：
0 1 2
P
数学期望
（20）解：(Ⅰ) ， ， ，
椭圆 方程为 。 2分
（Ⅱ）法一：椭圆 : ，当 时， ，
故 ，
当 时， 。 4分
切线方程为 ，
， 。 6分
同理可证， 时，切线方程也为 。
当 时，切线方程为 满足 。
综上，过椭圆上一点 的切线方程为 。 7分
解法2. 当斜率存在时，设切线方程为 ，联立方程：
可得 ，化简可得：
，①
由题可得： ， 4分
化简可得： ，
①式只有一个根，记作 ， ， 为切点的横坐标，
切点的纵坐标 ，所以 ，所以 ，
所以切线方程为： ，
化简得： 。 6分
当切线斜率不存在时，切线为 ，也符合方程 ，
综上： 在点 处的切线方程为 。
（其它解法可酌情给分） 7分
（Ⅲ）设点 为圆 上一点， 是椭圆 的切线，切点 ，过点 的椭圆的切线为 ，过点 的椭圆的切线为 。
两切线都过 点， 。
切点弦 所在直线方程为 。 9分
， ，
。
当且仅当 ，即 时取等，
， 的最小值为 . 12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） ，所以 ，即 ．
又 ，所以 ，
所以 ．
（2） ，
.……………5分
，
①当 时， ，函数 在 上单调递增； .……………6分
②当 时，由 得 ，
∴ 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增．
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． .……………8分
（3）（Ⅲ）解：设 ，
， 在 上为减函数，又 ，
当 时， ，当 时， .
， ，
在 上为增函数，又 ，
时， ， 在 上为增函数，
.
①当 时， ，
设 ，则 ， 在 上为减函数，
，
， ， ， 比 更接近 .
②当 时， ，
设 ，则 ， ，
在 时为减函数， ，
在 时为减函数， ，
， 比 更接近 .
综上：在 时， 比 更接近 . 12分
(22) 解： (1)连接 是圆 的两条切线， ， ,又 为圆 的直径， ， , ,即得证， 5分
(2) , , ∽ ，
10分
(23)解：（1）圆 的参数方程为 （ 为参数）
所以普通方程为 ---------------2分
圆 的极坐标方程： ---5分
（2）点 到直线 的距离为-------6分
-------------7分
的面积 |
------9分
所以 面积的最大值为 ------------10分
(24) 解：（1） ，-----2分
当
当
当
综上所述 ．----------------------5分
（2）易得 ，若 ， 恒成立，
则只需 ，
综上所述 ．------------------------------10分
点击下载：辽宁省大连市2015年高三第一次模拟考试数学(理)试题
