2015年一模试卷
数 学(文科)
命题人： 安道波 周亚明 张军 李飞 王爽
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
球的体积公式： ，
第I卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）设复数 （ 是虚数单位），则 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知 ，且 ，则 为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知△ 中，内角A，B，C的对边分别为 , ， ，则△ 的面积为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）2
(5) 是 成立的（ ）
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为 ，则判断框中填写的内容可以是( )
（A） （B） （C） （D）
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的
是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）函数 对任意 都有
，则 等于( )
（A） 或 （B） 或 （C） （D） 或
（9）在平面直角坐标系中，若 满足 ，
则 的最大值是（ ）
（A）2 （B）8 （C）14 （D）16
（10）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 在 轴上方）两点．若 ，则 的值为（ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
（11) 若关于 方程 有且只有两个解，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（12）定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数，① 对任意的 ，总有 ；
② 当 时，总有 成立，
则下列函数不是 函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
（13）函数 ( )的单调递增区间是__________，
（14）将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ，
(15) 已知定义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ，则不等式 的解集是 ，
（16）如图，半球内有一内接正四棱锥 ，
该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积
为 .
三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
（17）(本小题满分12分)
等差数列 的前 项和为 ，且满足
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
(18)(本小题满分12分)
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 5 7 9 8
乙班 4 8 9 7 7
(Ⅰ) 从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？
(Ⅱ)在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.
(19)(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且 ，点F为PD中点.
(Ⅰ)若 ，求证：直线AF 平面PEC ；
(Ⅱ)是否存在一个常数 ，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由，
(20) （本小题满分12分）
已知椭圆 : 的上顶点为 ，且离心率为 ，
(Ⅰ) 求椭圆 的方程；
（Ⅱ）证明：过圆 上一点 的切线方程为 ；
（Ⅲ）从椭圆 上一点 向圆 上向引两条切线，切点为 ,当直线 分别与 轴、 轴交于 两点时，求 的最小值.
(21)（本小题满分12分）
已知函数 ，常数 .
（Ⅰ）若 ，过点 作曲线 的切线 ，求 的方程；
（Ⅱ）若曲线 与直线 只有一个交点，求实数 的取值范围.
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
(22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示， 为圆 的直径， ， 为
圆 的切线， ， 为切点.，
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若圆 的半径为2，求 的值.
(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）
（Ⅰ）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知 ，圆 上任意一点 ，求 面积的最大值，
(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
201５年大连市高三一模测试
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；（5）A；（6）C；（7）D；（8）B；
（9）C；（10）D；（11) B；（12）D．
二.填空题
（13） ；（14）17；(15) ；（16） .
三.解答题
（17）解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，
则由已知条件可得： ，………………3分
解得 ，于是可求得 ．………………6分
（Ⅱ）因为 ，故 ，………8分
于是 ………………10分
又因为 ，所以 ，………………12分
(18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，………………1分
甲班的方差 ，………………3分
乙班的方差 ，……………5分
因为 ，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分
(Ⅱ)甲班1到5号记作 ，乙班1到5号记作 ，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为
= ， 由25个基本事件组成，基本事件是等可能的；………………8分
将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件 ，
则 ，………………10分
由10个基本事件组成，
所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为 .…………12分
(19)解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.
∵点F为PD中点，∴ . ∵ ，∴ ，又 ∥ ∥
∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，
∵ ，∴直线AF 平面PEC. ……………6分
(Ⅱ)存在常数 ，使得平面PED⊥平面PAB ．…………8分
∵ ， ， ，∴ ， 又∵∠DAB＝45°，∴AB⊥DE.
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB.
又∵ ，∴AB⊥平面PDE，
∵ ，∴平面PED⊥平面PAB. …………………12分
(20) 解：(Ⅰ) ， ，
椭圆 方程为 .………………3分
（Ⅱ）当切线的斜率 存在时，设切线方程为
又因为 ．………………4分
故切线方程为 ， ．………………6分
当 不存在时，切点坐标为 ，对应切线方程为 ，符合 ，
综上，切线方程为 ．………………………………7分
（Ⅱ）设点 坐标为 ， 是圆 的切线，切点 ，过点 的圆的切线为 ， 过点 的圆的切线为 ．
两切线都过 点， ．
切点弦 的方程为 ，由题知 ，………………9分
， ，
………………10分
，当且仅当 ， 时取等号， ， 的最小值为 .………………12分
(21) 解：（Ⅰ）设切点 为 ，则 处的切线方程为 ．………………2分
该直线经过点 ，所以有 ，化简得 ，
解得 或 ，所以切线方程为 和 .………………4分
（Ⅱ）法一：由题得方程 只有一个根，
设 ，则 ，因为 所以 有两个零点 ，即 （ ），
且 ， ，………………6分
不妨设 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
为极大值， 为极小值，
方程 只有一个根等价于 且 ，或者 且 ，………………8分
又 ，
设 ，所以 ，所以 为减函数，
又 ，所以 时 ， 时 ，………………10分
所以 大于 或小于 ，由 知， 只能小于 ，
所以由二次函数 性质可得 ，
所以 .………………12分
法二：曲线 与直线 只有一个交点，等价于关于 的方程 只有一个实根.
显然 ，所以方程 只有一个实根. ………………6分
设函数 ，则 .
设 ， ， 为增函数，又 .……8分
所以当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；所以 在 时取极小值 .………………10分
又当 趋向于 时， 趋向于正无穷；又当 趋向于负无穷时， 趋向于负无穷；又当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷.
所以 图象大致如图所示：
所以方程 只有一个实根时，实数 的取值范围为 ．…12分
(22) 解： (Ⅰ)连接 是圆 的切线， ，
, ……………2分
∵ , , ,
∵ , ……………4分
, 平分 . …………… 5分
(Ⅱ) , ,
是直径， .……………7分
∽ ，
．……………9分
． …………… 10分
(23)解：（Ⅰ）圆 的参数方程为 （ 为参数）
所以普通方程为 . ……………2分
圆 的极坐标方程： . ……………5分
（Ⅱ）点 到直线 的距离为……………6分
……………7分
的面积 |
……………9分
所以 面积的最大值为 ……………10分
(24) 解：（Ⅰ） ，……………2分
当
当
当
综上所述 ．……………5分
（Ⅱ）易得 ，若 ， 恒成立，
则只需 ，……………7分
.
综上所述 ． ……………10分
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