湖南益阳市2015届高三4月调研考试文科数学试题
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.
时量120分钟，满分150分.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i为虚数单位，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知集合
A. B. C. D.
3. 命题“若 ，则 ”的否命题是
A．若 ，则 B．若 ， 则
C．若 ，则 D．若 ，则
4. 已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，它的长轴长等于圆 的半径，则椭圆的标准方程是
A． B.
C. D.
5. 当 时，执行如右图所示的程序框图，
输出的 值为
A. 30 B.14
C. 8 D. 6
6. 设 ，则 的大小关系是
A． B． C． D．
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A． B．
C． D.
8. 不等式组 围成的区域为 ，能够把区域 的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为
A． B．
C． D．
9. 已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是
A. B. C. D.
10. 如图，在△ 中， 分别是 的中点，若 （ ），且点 落在四边形 内（含边界），则 的取值范围是
A． B．
C. D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
11. 在某市2015年“创建省文明卫生城市”知识竞赛中 ，
考评组从中抽取 份试卷进行分析，其分数的频率分
布直方图如右图所示，则分数在区间 上的人数大
约有 人.
12. 如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形内随机撒200颗
黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为160颗，依据此实验数
据可以估计出椭圆的面积约为 .
13. 在极坐标系中，点A（2， ）与曲线 上的点的最短距离为 .
14. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,若 的图象的对称轴重合，则 的值为 .
15. 点 在直线 上，记 ，若使 取得最小值的点 有无数个，则实数 的取值是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
等差数列 满足： ， ，其中 为数列 前n项和．
(Ⅰ)求数列 通项公式；
(Ⅱ)若 ，且 ， ， 成等比数列，求 的值．
17. (本小题满分12分)
某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。现有家报社想调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度，在该城市里随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75]
频 数 2 4 20 14 5 5
支持的人数 1 3 15 11 4 4
(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率（答案用百分比表示）；
(Ⅱ)若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中采用分层抽样选取3人进行跟踪调查，求选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率.
18. (本小题满分12分)
已知在△ABC中，三条边 、 、 所对的角分别为A、B、C，向量 ， ，且满足 .
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若 成等比数列，且 ，
求边 的值并求△ABC外接圆的面积.
19.(本小题满分13分)
如图,四棱锥 ,侧面 是边长为 的正三角形,且与底面垂直,底面 是 的菱形, 为 的中点.
(Ⅰ) 求证: ；
(Ⅱ) 在棱 上是否存在一点 ,使得 四点共面?
若存在,指出点 的位置并证明；若不存在,请说明理由；
(Ⅲ) 求点 到平面 的距离.
20．（本小题满分13分）
已知抛物线的顶点在原点，焦点 在 轴上，且抛物线上横坐标为1的点到 的距离为2 ，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)若 ，求直线AB的斜率；
(Ⅲ)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的
对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
21. (本小题满分13分)
已知函数 ，其图象记为曲线C .
(Ⅰ)若 在 处取得极值为 ，求 的值；
(Ⅱ)若 有三个不同的零点，分别为 ，且 ，过点 作曲线C的切线，切点为A （点A异于点 ）.
①证明： ；
②若三个零点均属于区间 ，求 的取值范围.
益阳市2015届高三四月调研考试
数学参考答案（文史类）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A B B D C D C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11. 80 12. 4.8 13. 1 14. 15. -1或1
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
等差数列 足： ， ，其中 为数列 前n项和．
(Ⅰ)求数列 通项公式；
(Ⅱ)若 ， ， 成等比数列，求 值．
解：（1）由条件， ； ……6分
（2） ， ∵ ．……12分
17. (本小题满分12分)
某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。现有家报社想调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度，并在该城市里随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75]
频 数 2 4 20 14 5 5
支持的人数 1 3 15 11 4 4
(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率（答案用百分比表示）；
(Ⅱ)若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中采用分层抽样选取3人进行跟踪调查，求选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率。
解（1）由表中可得支持率是 ，可以估计该市公民对“车辆限行”的支持率是76%。
………5分
（2）在[15，25），[25，35）的被调查者中的六人编号：
把[15，25）中的两人编号：1号为不支持，2号为支持；
把[25，35）中的四人编号：3号为支持，4号为支持，5号为支持，6号为不支持。
利用分层抽样则应该在[15，25）、[25，35）分别抽取1人、2人，则所有可能如下：
（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6）
（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6）
以上共有12种情形，其中有2人不支持的有3种情形，
所以选取的3人中有2人不支持“车辆限行”的概率为 . ………12分
18. (本小题满分12分)
已知在△ABC中，三条边 、 、 所对的角分别为A、B、C，向量 ， ，且满足 .
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若 成等比数列，且 ，
求边 的值并求△ABC外接圆的面积.
解：（1）
. ………5分
（2） sinA,sinC, sinB成等比数列, . ………7分
, . ………10分
设外接圆的半径为 ，由正弦定理可知：
. ………12分
19.(本小题满分13分)
如图,四棱锥 ,侧面 是边长为 的正三角形,且与底面垂直,底面 是 的菱形, 为 的中点.
(Ⅰ) 求证: ；
(Ⅱ) 在棱 上是否存在一点 ,使得 四点共面?若存在,指出点 的位置并证明；若不存在,请说明理由；
(Ⅲ) 求点 到平面 的距离.
解(Ⅰ)方法一:取 中点 ,连结 ,依题意可知
△ ,△ 均为正三角形,
所以 , ,
又 , 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 . ………4分
方法二:连结 、 ,依题意可知△ ,△ 均为边长为 正三角形,
又 为 的中点,所以 , ,
又 , 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 . ………4分
(Ⅱ)当点 为棱 的中点时, 四点共面, ………6分
证明如下:
取棱 的中点 ,连结 , ,又 为 的中点,
所以 ,在菱形 中 ,所以 ,
所以 四点共面. ………9分
(Ⅲ)点 到平面 的距离即点 到平面 的距离,
由(Ⅰ)可知 ,又平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ,所以 平面 ,
即 为三棱锥 的体高.
在 中, , ,
在 中, , ,
边 上的高 ,
所以 的面积 ,
设点 到平面 的距离为 ,由 得
,又 ,
所以 ,
解得 , 所以点 到平面 的距离为 . ………13分
20．（本小题满分13分）
已知抛物线的顶点在原点，焦点 在 轴上，且抛物线上横坐标为1的点到 的距离
为2 ，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)若 ，求直线AB的斜率；
(Ⅲ)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的
对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
解：(1)设抛物线方程为C： ，
由其定义知 ，又 ，所以 ， .
………3分
（2）依题意 ，设直线 的方程为 .
将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 .
设 所以 ………………①………5分
因为 ，所以 ………………②
联立①、②，消去 得 .
所以直线 的斜率是 . ………8分
（3）由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，
从而点 与点 到直线 的距离相等，所以四边形 的面积等于 ，
.
所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 . ………13分
21. (本小题满分13分)
已知函数 ，其图象记为曲线C .
(Ⅰ)若 在 处取得极值为 -1 ，求 的值；
(Ⅱ)若 有三个不同的零点，分别为 ，且 ，过点 作曲线C的切线，切点为A （点A异于点 ）.
①证明： ；
②若三个零点均属于区间 ，求 的取值范围.
结合图象,当抛物线分别过 、 时，抛物线在 轴上的截距取上、下界
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