江西省八所重点中学2015届高三4月联考数学（文）试题
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 为坐标原点，点 坐标为(－2，1)，在平面区域 上取一点 ，则使 取得最小值时，点 的坐标是( )
A.(0，0) B. (0，1) C. (0，2) D. (2，0)
4．已知抛物线 的焦点到准线的距离为2，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 是定义在R上的奇函数，当 时， （m为常数），则 的值为（ ）
A. B. C.6 D.
6．正项等比数列 满足： ，若存在 ，使得 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 在 上递增
C. 是周期函数 D. 的值域为
8．执行如图所示的程序框图，则输出的 的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
10．已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. (1,2] B. [2 + ) C. (1,3] D. [3，+ )
11. 已知 为球 的直径， 是球面上两点，且 若球 的表面积为 ，则棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 已知实数 ，则 的概率为 .
14. 已知函数 则满足不等式 的 的取值范围
是 .
15.在数列 中，已知 ，记 为数列 的前 项和，
则 .
16．在 中， ，则 的面积为 .
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）在直角坐标系 中，角 的始边为 轴的非负半轴，终边为射线
(1)求 的值；
(2)若点 分别是角 始边、终边上的动点，且 ，求 面积最大时，点
的坐标．
18.（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：
后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.
(2)若从车速在 的车辆中任抽取2辆，求车速在 的车辆恰有一辆的概率.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， , 点 是 的中点， ，且交 于点 ．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
20.（本小题满分12分）动圆 过点 ，且与直线 相切，圆心为 。
(1) 求 的轨迹方程，
(2) 直线 与圆 ： 相切，并与 的轨迹相交于 两点，以 为直径的圆恒过圆 的圆心，当 值最大时，求直线 的方程.
21．（本小题满分12分）设函数
(1) 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 当 时， 的最大值为 ，求 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：
22．（本小题满分10分）(选修4-1几何证明选讲)已知 中， ， 外接圆劣弧 上的点（不与点 重合）,延长 至 ,延长 交 的延长线于 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
23．（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 ．以直角坐标系原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的直角坐标方程；
（2）点 为曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最大值．
24．（本小题满分10分）(选修4－5：不等式选讲)已知函数 （其中 为实常数）．
(1)若集合 是关于 的不等式 的解集的子集，求实数 的值范围；
(2)在(1)的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取值范围．
江西省八所重点中学2015届高三联考数学（文科）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 D B B C B C C C C C A B
二．填空题
13. 14. 15. 16.
三．解答题
17.解：(1)由射线 的方程为 ，可得 ， ……2分
故 ＝ . ……………5分
(2)设 .
在 中因为 ， ……………………………………6分
即 ，所以 ≤9 …………………………8分
．当且仅当 ，即 取得等号. …………10分
所以 面积最大时，点 的坐标分别为 ．…………12分
18.解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 …… 2分
设图中虚线所对应的车速为 ，则中位数的估计值为：
，解得
即中位数的估计值为 ………5分
（2）从图中可知，车速在 的车辆数为： （辆），………6分
车速在 的车辆数为： （辆） ………7分
设车速在 的车辆设为 ，车速在 的车辆设为 ，则所有基本事件有：
共15种 ……………… 10分
其中车速在 的车辆恰有一辆的事件有：
共8种 ………11分
所以，车速在 的车辆恰有一辆的概率为 . ………………12分
19.（1）证明：由条件有
∴ 平面 ，∴
又∵ 是 的中点，∴
∴ 平面 ∴
由已知 ，∴ 平面 6分
（2） ………8分
………10分
点 到平面 的距离为 . ………12分
20.解：（1）易知 的轨迹为顶点在原点，焦点为 的抛物线，
所以 的轨迹方程为 . ………4分
（2）设直线 方程为 ，则有
联立
得
设 则 ………7分
以 为直径的圆恒过圆 的圆心，
………10分
,当 时
此时直线 的方程为 ………12分
21.解：（1）当 时，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ………4分
(2)
令 得 ………6分
① 当 时， 在 递减，在 递增
当 时，
② 当 即 时， 在 和 递减， 在 递增
解得 ,所以
③ 当 即 时， 在 递减,
④ 当 即 时， 在 和 递减，在 递增，
解得 ,所以
⑤ 当 即 时， 在 递增， 不合题意 ………11分
综上所述： 的取值范围为 ………12分
第（2）问另解：
当 时的最大值为 ，等价于 对于 恒成立，
可化为 对于 恒成立 ………7分
令 ，则
于是 在 上递增，在 上递减，
的取值范围是 ………12分
22．解：(1)证明： 、 、 、 四点共圆
．………………2分
且 ,
…………4分
．………………5分
(2)由(1)得 ,又 ,
所以 与 相似,
，…………7分
又 , ，
根据割线定理得 ，……………9分
．……………10分
23．解：（Ⅰ） 化简为 ，
∴直线 的直角坐标方程为 ； ……………………………………………4分
（Ⅱ）设点 的坐标为 ，
得 到直线 的距离 ， ………………………………………6分
即 ，其中 ．
当 时， ． …………………………………………10分.
24．解：（Ⅰ）由 得 ，
∴ ， 即 ………3分
∴ ， 。 ………5分
（Ⅱ）只需 的最小值………6分
令 ，
在(1)的条件下，
则
当 即 时取等号，
∴ 的最小值为0， ………9分；
故实数 的取值范围是 。 ………10分
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