2015年石景山区高三统一测试
数 学（文）
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合 ， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的图象（ ）
A．关于 对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于 对称
窗口 1 2 过道 3 4 5 窗口
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 … … …
3．两旅客坐火车外出旅游，希望座位
连在一起，且有一个靠窗，已知火车上
的座位的排法如图所示，则下列座位
号码符合要求的是（ ）
A．48，49 B．62，63
C．75，76 D．84，85
4．如图，在 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量
满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．阅读右面的程序框图，若输出的 ，
则输入的 的值可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 （其中 ）
的图象如右图所示，则函数
的大致图象是（ ）
A B C D
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线
画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，
最长的棱的长度为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
点M在棱AB上，且AM ，点P是平面
ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离
与点P到点M的距离的平方差为1，
则动点P的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知角 的终边经过点 ，且 ,则 的值为 ．
10．设变量 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
11．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点
A ，B ，C ，分别以△ABC的
边 向外作正方形 与 ，
则直线 的一般式方程为 ．
13．某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，
操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操
一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域
尽可能大，矩形的长应该设计成 米．
14．已知集合 ，若对于任意 ，存在 ，使得 成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
其中是“垂直对点集”的序号是 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 为等比数列，且 ，求数列 的前n项和 ．
16．（本小题满分13分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）若 ，求△ABC的面积．
17．（本小题满分13分）
已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x与y均为B等级的概率是0.18．
A B C
A 7 20 5
B 9 18 6
C a 4 b
（Ⅰ）求抽取的学生人数；
（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b值；
（Ⅲ）已知 ，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率.
18．（本小题满分14分）
如图，已知AF 平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，
DAB ，AB//CD，AD AF CD 2，AB 4．
（Ⅰ）求证：AC 平面BCE；
（Ⅱ）求三棱锥A CDE的体积；
（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM CE ?
若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆C： 的离心率 ，短轴的右端点为B， M（1，0）为线段OB的中点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任意作一条直线与椭圆C相交于两点P，Q
试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM =∠QNM ？
若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分13 分)
已知函数 .
（Ⅰ）若函数 在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若 ，且关于x的方程 在 上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列 满足 ，
求证： .
点击下载：北京市石景山区2015届高三3月一模数学文试题
