2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）
数 学（文科）
沈阳命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝
沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学 潘 戈
沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧
沈阳主审：沈阳市教育研究院 王恩宾
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。
3.考试结束后，考生将答题卡交回。
球的体积公式： .
第Ⅰ卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2. 设复数 （ 是虚数单位），则 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 已知 = ，且 ，则 为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 已知△ 中，内角A，B，C的对边分别为 , ， ，则△ 的面积为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）2
5. 是 成立的（ ）
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为 ，则判断框中填写的内容可以是( )
（A） （B） （C） （D）
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的
是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8. 函数 对任意 都有
，则 等于( )
（A） 或 （B） 或 （C） （D） 或
9. 在平面直角坐标系中，若 满足 ，
则 的最大值是（ ）
（A）2 （B）8 （C）14 （D）16
10. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 在 轴上方）两点．若 ，则实数 的值为（ ）
（A） （B） （C）2 （D）3
11. 若关于 方程 有且只有两个解，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
12. 定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数：① 对任意的 ，总有 ；
② 当 时，总有 成立，则下列函数不是 函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二. 填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
13. 函数 ( )的单调递增区间是__________.
14. 将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 .
15. 已知定义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ，则不等式 的解集是 .
16. 如图，半球内有一内接正四棱锥 ，
该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积
为 .
三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
等差数列 的前 项和为 ，且满足 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
18.（本小题满分12分）
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 5 7 9 8
乙班 4 8 9 7 7
（Ⅰ）从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？
（Ⅱ）在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且 ，点F为PD中点.
（Ⅰ）若 ，求证：直线AF 平面PEC ；
（Ⅱ）是否存在一个常数 ，使得平面PED⊥平面PAB. 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆 : 的上顶点为 ，且离心率为 ，
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）证明：过圆 上一点 的切线方程为 ；
（Ⅲ）从椭圆 上一点 向圆 上引两条切线，切点为 . 当直线 分别与 轴、 轴交于 两点时，求 的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数 ，常数 .
（Ⅰ）若 ，过点 作曲线 的切线 ，求 的方程；
（Ⅱ）若曲线 与直线 只有一个交点，求实数 的取值范围.
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示， 为圆 的直径， ， 为
圆 的切线， ， 为切点.，
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若圆 的半径为2，求 的值.
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）
（Ⅰ）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知 ，圆 上任意一点 ，求△ 面积的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 R， 恒成立，求实数 的取值范围．
2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
（1）C；（2）A； （3）B；（4）C；（5）A；（6）C；（7）D；（8）B；
（9）C；（10）D；（11) B；（12）D．
二.填空题
（13） ；（14） 17；(15) ； （16） .
三.解答题
（17）解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，则由已知条件可得： ，…2分
解得 ， …………………………4分
于是可求得 . ………………………………6分
（Ⅱ）因为 ，故 ， ………8分
于是 .
……10分
又因为 ，所以 . ………………………………12分
(18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………………………1分
甲班的方差 ， ……………3分
乙班的方差 ， ……………5分
因为 ，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ……………6分
(Ⅱ)甲班1到5号记作 ，乙班1到5号记作 ，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为
= ， …………………8分
由25个基本事件组成，这25个是等可能的；
将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作 ，
则 ， 由10个基本事件组成， …………10分
所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为 . …………12分
(19)解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M. …………………………………2分
∵点F为PD中点，∴ .
∵ ，∴ ，…………4分
∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM.
∵ ，
∴直线AF 平面PEC. ………………6分
(Ⅱ)存在常数 ，使得平面PED⊥平面PAB . …………………………………7分
∵ ， ， ，∴ . ………………………………8分
又∵∠DAB＝45°，∴AB⊥DE.
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB. ………………………………10分
又∵ ，∴AB⊥平面PDE.
∵ ，∴平面PED⊥平面PAB. …………………12分
(20) 解：(Ⅰ) ， ， ，
椭圆 方程为 . …………………………………………………2分
（Ⅱ）当切线的斜率 存在时，设切线方程为 . ………………3分
又因为 ，故切线方程为 ， . ……5分
当 不存在时，切点坐标为 ，切线方程为 ，符合 .
综上，切线方程为 . ………………………………………………6分
（Ⅲ）设点 坐标为 ， 是圆 的切线，切点 ，过点 的圆的切线为 ， 过点 的圆的切线为 .
两切线都过 点， . ……………………8分
切点弦 的方程为 ，由题知 ，
， ，
，当且仅当 ， 时取等号， ， 的最小值为 . …………………12分
(21) 解：（Ⅰ）设切点 为 ，则 处的切线方程为 .
该直线经过点 ，所以有 ，化简得 ，
解得 或 ，所以切线方程为 和 . …………………4分
（Ⅱ）法一：由题得方程 只有一个根. ………………………5分
设 ，则 ，因为 所以 有两个零点 ，即 （ ），且 ， . …7分
不妨设 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
为极大值， 为极小值，
方程 只有一个根等价于 且 ，或者 且 . ………………………………………………………………………9分
又 .
设 ，所以 ，所以 为减函数.
又 ，所以 时， ； 时， ，
所以 大于 或小于 ，由 知， 只能小于 ，
所以由二次函数 性质可得 ，
所以 . ……………………………………………………………………12分
法二：曲线 与直线 只有一个交点，等价于关于 的方程 只有一个实根. ………………………………………………5分
显然 ，所以方程 只有一个实根.
设函数 ，则 . …………………7分
设 ， ， 为增函数. 又 ，
所以当 时， ， 为增函数；当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；所以 在 时取极小值 . ……………9分
又当 趋向于 时， 趋向于正无穷；又当 趋向于负无穷时， 趋向于负无穷；又当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷.
所以 图象大致如图所示：
所以方程 只有一个实根时，实数 的取值范围为 . …………12分
(22) 解： (1)连接 是圆 的两条切线， ， ,又∵ 为圆 的直径， ， , ,即得证，
…………………………5分
(2) , ,∴ △ ∽△ ，
. …………………………………………………………10分
(23)解：（1）圆 的参数方程为 （ 为参数）
所以普通方程为 . ……………………………………2分
圆 的极坐标方程： …………………5分
（2）点 到直线 : 的距离为 ……………………6分
…………………………………………………7分
△ 的面积
……………………………………………………………………………………9分
所以△ 面积的最大值为 ………………………………………10分
(24) 解：（1） ， …………………………………2分
当
当
当
综上所述 ． ………………………………5分
（2）易得 ，若 R， 恒成立，
则只需 ，
综上所述 ． ……………………………………………10分
点击下载：东北三省四市教研联合体2015届高三第二次模拟考试数学（文）试题
