2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）
数 学（理科）
沈阳命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝
沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学 潘 戈
沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧
沈阳主审：沈阳市教育研究院 王恩宾
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．
3. 考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2. 设复数 （ 是虚数单位），则 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 已知 =1, = ，且 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 已知△ 中，内角A，B，C的对边分别为 ,若 ， ，则△ 的面积为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）2
5. 已知 ， ，则函数
为增函数的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为
，则判断框中填写的内容可以是( )
（A） （B） （C） （D）
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某多
面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8. 已知直线 与抛物线 交于 两点，点 ，若 ，则实数 （ ）
（A） （B） （C） （D）
9. 对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数：① 对任意的 ，恒有 ；② 当 时，总有 成立，则下列函数不是 函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
10. 在平面直角坐标系中，若 满足 ，则当 取得最大值时，点 的坐标是（ ）
（A） （B） （C） （D）
11. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 . 若函数 在点 处的切线过双曲线左焦点 ，则双曲线的离心率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
12. 若对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
（A） （B）1 （C）2 （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
13. 函数 ( )的单调递增区间是__________．
14. 的展开式中常数项为 ．
15. 已知定义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ，则不等式 的解集是 ．
16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、 ，则 的值是 ．
三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分12分)
已知数列 中， ，其前 项的和为 ，且满足 .
(Ⅰ) 求证：数列 是等差数列；
(Ⅱ) 证明：当 时， .
18. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝ ，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点 分别为AB和PD中点.
(Ⅰ)求证：直线AF 平面PEC ；
(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 5 7 9 8
乙班 4 8 9 7 7
(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？
(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 和 ，试求 和 的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆 : 的上顶点为 ，且离心率为 .
(Ⅰ) 求椭圆 的方程；
（Ⅱ）证明：过椭圆 : 上一点 的切线方程为 ；
（Ⅲ）从圆 上一点 向椭圆 引两条切线，切点分别为 ,当直线 分别与 轴、 轴交于 、 两点时，求 的最小值.
21.（本小题满分12分）
若定义在 上的函数 满足 ，
， R.
（Ⅰ）求函数 解析式；
（Ⅱ）求函数 单调区间；
（Ⅲ）若 、 、 满足 ，则称 比 更接近 .当 且 时，试比较 和 哪个更接近 ，并说明理由．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示， 为圆 的直径， ， 为
圆 的切线， ， 为切点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若圆 的半径为2，求 的值.
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）.
（Ⅰ）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知 ，圆 上任意一点 ，求△ 面积的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一．选择题
（1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；
（9）D；（10）D；（11) A；（12）D．
二.填空题
（13） ；（14） ；(15) ；（16） .
三.解答题
（17）解：（Ⅰ）当 时， ， …………………2分
. ，
从而 构成以1为首项，2为公差的等差数列. ………………………………6分
（Ⅱ）由（1）可知， ， . ………8分
当 时， . ……10分
从而 . …12分
（18）解：(Ⅰ)证明：作FM∥CD交PC于M.
∵点F为PD中点，∴ . …………2分
∵ ，∴ ，
∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM， ……4分
∵ ，
∴直线AF 平面PEC. ……………6分
(Ⅱ) ， .
如图所示，建立坐标系，则
P(0,0,1),C(0,1,0),E( ,0,0),
A( ， ，0)， ，
∴ ， . …8分
设平面PAB的一个法向量为 .
∵ ， ，∴ ，取 ，则 ，
∴平面PAB的一个法向量为 . …………………………10分
设向量 ∵ ，
∴ ，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为 . .…………………………12分
（19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………1分
甲班的方差 ， …………3分
乙班的方差 ， …………5分
因为 ，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分
(Ⅱ) 可能取0,1,2
， ， ，
所以 分布列为：
0 1 2
P
数学期望 . …………………………………9分
可能取0,1,2
， ， ，
所以 分布列为：
0 1 2
P
数学期望 . …………………………12分
（20）解：(Ⅰ) ， ， ，
椭圆 方程为 . ………………………………………2分
（Ⅱ）法一：椭圆 : ，当 时， ，
故 ，
当 时， . ……………4分
切线方程为 ，
， . …………………………6分
同理可证， 时，切线方程也为 .
当 时，切线方程为 满足 .
综上，过椭圆上一点 的切线方程为 . ……………………7分
解法2. 当斜率存在时，设切线方程为 ，联立方程：
可得 ，化简可得：
，①
由题可得： ， ……………………4分
化简可得： ，
①式只有一个根，记作 ， ， 为切点的横坐标，
切点的纵坐标 ，所以 ，所以 ，
所以切线方程为： ，
化简得： . …………………………… 6分
当切线斜率不存在时，切线为 ，也符合方程 ，
综上： 在点 处的切线方程为 .
（其它解法可酌情给分） ………………………… 7分
（Ⅲ）设点 为圆 上一点， 是椭圆 的切线，切点 ，过点 的椭圆的切线为 ，过点 的椭圆的切线为 .
两切线都过 点， .
切点弦 所在直线方程为 . …………………… 9分
， ，
.
当且仅当 ，即 时取等，
， 的最小值为 . ……………………………………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） ，所以 ，即 ．
又 ，所以 ，
所以 ． ……………………………………4分
（Ⅱ） ，
. ……………5分
，
①当 时， ，函数 在 上单调递增； .……………6分
②当 时，由 得 ，
∴ 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增．
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． .……………8分
（Ⅲ）解：设 ，
， 在 上为减函数，又 ，
当 时， ，当 时， .
， ，
在 上为增函数，又 ，
时， ， 在 上为增函数，
.
①当 时， ，
设 ，则 ， 在 上为减函数，
，
， ， ， 比 + 更接近 .
②当 时， ，
设 ，则 ， ，
在 时为减函数， ，
在 时为减函数， ，
， 比 + 更接近 .
综上：在 时， 比 + 更接近 . …………………………… 12分
(22) 解： (1)连接 是圆 的两条切线， ，
,又 为圆 的直径， ，
, ,即得证，……5分
(2) , , △ ∽△ ，
. ………………………………………………………… 10分
(23)解：（1）圆 的参数方程为 （ 为参数）
所以普通方程为 …………………………………………2分
圆 的极坐标方程： …………………5分
（2）点 到直线 ： 的距离为 ………………………6分
………………………7分
△ 的面积
………………………9分
所以△ 面积的最大值为 ………………………10分
(24) 解：（1） ， ………………………2分
当
当
当
综上所述 ． ………………………5分
（2）易得 ，若 ， 恒成立，
则只需 ，
综上所述 ． ………………………10分
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