2015年高中毕业年级第二次质量预测
文科数学试题卷
本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150
分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷
时只交答题卡．
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小厄给出的四个选项中．只有
一个符合题目要求．
1．设i是虚数单位，复数 ，则｜z｜＝
A.1 B. C. D. 2
2.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x Z｝x2一6x+5<0｝，则C u(AUB)＝
A.｛1，5，6｝ B.｛1，4，5，6｝ C.｛2，3，4｝ D. (1，6｝
3.“a=1＂是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x－3y－2＝0垂直”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值 ＝
A.1 B. C. D.
5.将函数f (x) = cosx－ sinx(x R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到
的图象关于原点对称，则a的最小值是
A. B. C. D、
6.已知双曲线的一个焦点与抛物线 = 24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为300，则该双曲线的标准方程为
7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且（b－c）（sinB＋ sinC)＝（a－ c) •sinA，则角B的大小为
A. 300 B. 450 C. 600 D、 1200
8.执行如图所示的程序框图，输出的S值是
A. B、－1 C、0 D. ―1―
9．若正数a,b满足2＋log2 a＝3+1og3b＝1og6 (a+b)，则 的值为
A. 36 B. 72 C. 108 D.
10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
11.已知函数f(x)＝ ，函数g(x)=f(x)一2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
A.［一1，1) B.［0, 2］ C.［一2，2) D.［一1，2)
12.已知椭圆 的两焦点分别是Fl，F2，过F1的直线交椭圆于P,Q两点，若｜PF2｜＝｜F1F2｜，且2｜PF1｜=3｜QF1｜，则椭圆的离心率为
A、 B、 C、 D、
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22-24题为选考题．考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题．每小题5分，共20分｝
13．设等比数列｛ ｝的前n项和为Sn，若27a3一a6＝0，则 ＝
14.如图，y=f(x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，其中g' (x)是
g（x）的导函数，则 ＝
15.已知实数x,y满足 设b=x-2y，若b的最小值为一2，则b的最大值为
16. 如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成
△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是
①｜BM｜是定值 ②点M在某个球面上运动
③存在某个位置，使DE⊥A1 C ④.存在某个位置，使MB//平面A1DE
三、解答题《本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤｝
17.（本小题满分12分）
已知数列｛ ｝的前n项和为Sn，且Sn＝2a.n－2.
（I）求数列｛ ｝的通项公式；
（B）设 ，求使(n－8)bn≥nk对任意n N＊恒成立的实
数k的取值范围．
18.（本小题满分12分）
最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高
考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且x=2y.
（I）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不
赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
（11）在（I）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名
教师被选出的概率。
19.（本小题满分12分）
如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'侧棱垂直于底面，AB=AC, ∠BAC=900，点M,N分别为A'B和B'C'的中点．
（I）证明：MN／／平面AA'C'C；
（B）设AB= AA'，当A为何值时，CN⊥平面A'MN，试证明你的结论．
20.（本小题满分12分）
设椭圆C： ，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离
心率为 ,O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程，
（B）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,
N,且满足 ？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝ax－l＋lnx，其中a为常数．
（I）当 时，若f(x)在区间（0，e)上的最大值为一4，求a的值；
（II）当 时，若函数 存在零点，求实数b的取值范围．
请考生在第22.23.24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分，做答
时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲
奴图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.
（I）求证：AC•BC=AD•AE;
（II）若AF=2, CF=2 ，求AE的长
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为 为参数），
若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标
方程为 （t为参数）．
（I）求曲线M和N的直角坐标方程，
（11）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=｜3x+2｜
（I）解不等式 ，
（B）已知m+n=1(m,n>0)，若 恒成立，求实数a的取
值范围．
数列 是以 为首项，公比为 的等比数列， 所以， （ ）.……… 6分
（2） .
由 对任意 恒成立，即实数 对 恒成立；
设 ，则当 或 时， 取得最小值为 ，所以 . ……… 12分
18.解解： (Ⅰ) 由题意 ，所以 ，
因为 ，所以 则应抽取教师人数 应抽取学生人数 …… 5分
（Ⅱ）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为 ，4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有 ，
， 共20种，……… 9分
至少有一名教师的选法有
，
共16种，
至少有一名教师被选出的概率 …… 12分
19.证明（I）取 得中点 ,连接 ,因为 分别为 和 的中点，
所以 又因为 , ,
所以 , , ……… 5分
所以 ,因为 ,
所以 ； ……… 6分
（II）连接 ,设 ，则 ，
由题意知
因为三棱柱 侧棱垂直于底面,
所以 ,
因为 ,点 是 的中点，所以 ,
,……… 9分
要使 ，
只需 即可，
所以 ,即 ，
则 时， . ……… 12分
20.解:（1）因为椭圆 ,由题意得
, ， ，
解得 所以椭圆 的方程为 …… 4分
（2）假设存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，
因为 ，所以有 ,
设 ，
当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为 。解方程组
得 ,即 , ……… 6分
则△= ,即
要使 ,需 ,即 ,
所以 ,所以 又 ,所以 ,
所以 ,即 或 ,因为直线 为圆的一条切线,
所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 , ……… 10分
此时圆的切线 都满足 或 ,
而当切线的斜率不存在时，切线为 ，与椭圆 的两个交点为 或 满足 , 综上, 存在圆心在原点的圆 满足条件. …… 12分
21. 解：（Ⅰ）由题意 ，令 解得 因为 ，所以 ，
由 解得 ，由 解得
从而 的单调增区间为 ，减区间为
所以， ， 解得， ．……. 5分
（Ⅱ）函数 存在零点，即方程 有实数根，
由已知,函数 的定义域为 ，当 时， ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，所以， 的单调增区间为 ，减区间为 ,
所以 ， 所以， ≥1. ……… 9分
令 ，则 . 当 时， ；当 时，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以， ， 要使方程 有实数根，
只需 即可，则 . …12分
22. （Ⅰ）证明：连结 ，由题意知 为直角三角形.
因为 ， ， ∽ ，
所以 ，即 .
又 ，所以 . ……… 5分
（Ⅱ）因为 是圆 的切线，所以 ，又 ，所以 ，
因为 ，又 ，所以 ∽ . 所以 ，得
…… 10分
23. （Ⅰ）由 得 ，
所以曲线 可化为 ， ， ……2分
由 ，得 ，
所以 ，所以曲线 可化为 .……… 4分
（Ⅱ）若曲线 ， 有公共点，则当直线 过点 时满足要求，此时 ，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立 ，得 ，
，解得 ，综上可求得 的取值范围是 . ……… 10分
24. 解：（I）不等式 ，即 ，
当 时，即 解得
当 时，即 解得
当 时，即 无解，
综上所述 . ……… 5分
（Ⅱ） ，
令
时， ，要使不等式恒成立，
只需 即 . ……… 10分
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