长春市普通高中2015届高三质量监测（三）
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1. 已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2. 设复数 （ 是虚数单位），则 =
A. B. C. D.
3. 已知 ，且 ，则 为
A. B. C. D.
4. 已知△ 中，内角A，B，C的对边分别为 , ， ，则△ 的面积为
A. B. 1 C. D. 2
5. 是 成立的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知双曲线 的离心率为 ，则 的值为
A. B. C. D.
7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S为 ，则判断框中填写的内容可以是
A. B.
C. D.
8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为
A. B. C. D.
9. 函数 对任意 都有 ，则 等于
A. 或 B. 或 C. D. 或
10. 在平面直角坐标系中，若 满足 ，则 的最大值是
A. 2 B. 8 C. 14 D. 16
11. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 在 轴上方）两点. 若 ，则 的值为
A. B. C. 2 D. 3
12. 对定义在 上，并且同时满足以下两个条件的函数 称为 函数：
(i) 对任意的 ，恒有 ；
(ii) 当 时，总有 成立.
则下列三个函数中不是 函数的个数是
① ② ③
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 函数 ( )的单调递增区间是__________.
14. 将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 .
15. 已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是 .
16. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为 .
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17. (本小题满分12分)
等差数列 的前 项和为 ，且满足 .
⑴ 求数列 的通项公式；
⑵ 设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
18. (本小题满分12分)
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 5 7 9 8
乙班 4 8 9 7 7
⑴ 从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；
⑵ 在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.
19. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝ ，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点 分别为为AB和PD中点.
⑴ 求证：直线 平面 ；
⑵ 求三棱锥 的表面积.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆 : 的上顶点为 ，且离心率为 .
⑴ 求椭圆 的方程；
⑵ 证明：过圆 上一点 的切线方程为 ；
⑶ 从椭圆 上一点 向圆 引两条切线，切点为 ,当直线 分别与 轴、 轴交于 两点时，求 的最小值.
21. (本小题满分12分)
已知函数 ， .
⑴ 若 ，过点 作曲线 的切线 ，求 的方程；
⑵ 若曲线 与直线 只有一个交点，求实数 的取值范围.
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22. (本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图所示， 为圆 的直径， ， 为圆 的切线， ， 为切点.，
⑴ 求证： ；
⑵ 若圆 的半径为2，求 的值.
23. (本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）
⑴ 以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 的极坐标方程；
⑵ 已知 ，圆 上任意一点 ，求 面积的最大值.
24. (本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲
⑴ 已知 都是正数，且 ，求证： ；
⑵ 已知 都是正数，求证： .
长春市普通高中2015届高三质量监测（三）
数学(文科)参考答案及评分参考
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1. C 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B
7. C 8. D 9. B 10. C 11. D 12. B
简答与提示：
1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.
【试题解析】C ，故选C.
2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法运算，对考生的运算求解能力有一定要求.
【试题解析】A 由 ，故选A.
3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.
【试题解析】B 因为 ，所以 ，于是由 ，于是可求得 ，故选B.
4. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.
【试题解析】C 由 ，可得 ，则所求面积 ，故选C.
5. 【命题意图】本小题通过二次不等式的解法来考查充分必要条件，是一道经典题.
【试题解析】A 由 解得 ，再根据已知条件易知选A.
6. 【命题意图】本小题是一道简单题，考查双曲线离心率的表达式，以及双曲线的标准方程.
【试题解析】B 由双曲线的离心率为 ，则 . 故选B.
7. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.
【试题解析】C ∵ ，因此应选择 时满足，
而 时不满足条件∴ ，故选C.
8. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.
【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为 ，故选D.
9. 【命题意图】本小题结合函数的对成性来考查三角函数的图像与性质，不但要求考生对三角函数的图像与性质有着深刻的认识，更重要的是对基本抽象函数的表达有着充分的认知.
【试题解析】B 由 可知函数图像关于直线 对称，则在 处取得最值，所以 ，故选B.
10. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.
【试题解析】C 根据线性规划的方法可求得最优解为点 ，此时 的值等于14，故选C.
11. 【命题意图】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.
【试题解析】D 将 联立，解得 ，
因为所给直线经过抛物线的焦点 ，且其准线为 ，所以A点到准线的距离为4，B点到准线的距离为 ，据抛物线定义可有 ，结合已知条件即可确定，故选D.
12. 【命题意图】本小题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图像的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.
【试题解析】B (i)在 上，三个函数都满足；(ii) ；
对于①， ，满足；
对于②，
，不满足.
对于③，
，满足；
故选B.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 17 15. 16.
简答与提示：
13. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试题.
【试题解析】∵ ，
∴函数的增区间为 ，又 ，∴增区间为 .
14. 【命题意图】本小题主要考查系统抽样的基本概念，属于概念题，也是考生必须准备的简单题.
【试题解析】根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17.
15. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想.
【试题解析】由已知 或 ，∴解集是 .
16. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.
【试题解析】设所给半球的半径为 ，则棱锥的高 ，底面正方形中有 ，所以其体积 ，则 ，
于是所求半球的体积为 .
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，以及利用裂项求和等内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.
【试题解析】解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，则由已知条件可得： ，解得 ，于是可求得 ； 6分
（Ⅱ）因为 ，故 ，于是
又因为 ，所以 . 12分
18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本事件概率的求取等内容. 本题主要考查学生的数据处理能力.
【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7，
甲班的方差 ，
乙班的方差 ，
因为 ，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. 6分
（2）甲班1到5号记作 ，乙班1到5号记作 ，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为 = 由25个基本事件组成，这25个是等可能的；
将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作 ，
则 ， 由10个基本事件组成，
所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为 . 12分
19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间几何体表面积的求法等. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.
【试题解析】解：（1）证明：作FM∥CD交PC于M.
∵点F为PD中点，∴ . ∴ ，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵ ，
∴直线AF 平面PEC. (6分)
（2）连结 可知 ，
，
由此 ；
；
；
；
因此三棱锥 的表面积 . 12分
20. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.
【试题解析】解：（1） ， ，
椭圆 方程为 . 4分
（2）当切线的斜率 存在时，设切线方程为 ，又因为 ，
故切线方程为 ，
当 不存在时，切点坐标为 ，切线方程为 ，符合 ，
综上，切线方程为 . 8分
（3）设点 坐标为 ， 是圆 的切线，
切点 ，过点 的圆的切线为 ，
过点 的圆的切线为
两切线都过 点，
切点弦 的方程为 ，由题知 ，
， ，
，当且仅当 ， 时取等号， ， 的最小值为 . 12分
21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到曲线的切线方程的求取，利用导数刻画函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.
【试题解析】解：（1）设切点 为 ，则 处的切线方程为 . 该直线经过点 ，
所以有 ，化简得 ，
解得 或 ，所以切线方程为 和 . 4分
（2）法一：由题得方程 只有一个根，
设 ，则 ，因为
所以 有两个零点 ，即 （ ），
且 ， ，
不妨设 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
为极大值， 为极小值，
方程 只有一个根等价于 且 ，
或者 且 ，
又 ，
设 ，所以 ，所以 为减函数，
又 ，所以 时 ， 时 ，
所以 大于 或小于 ，由 知， 只能小于 ，
所以由二次函数 性质可得 ，所以 . 12分
法二：曲线 与直线 只有一个交点，
等价于关于 的方程 只有一个实根.
显然 ，所以方程 只有一个实根.
设函数 ，则 .
设 ， ， 为增函数，又 .
所以当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数；
所以 在 时取极小值 .
又当 趋向于 时， 趋向于正无穷；
又当 趋向于负无穷时， 趋向于负无穷；
又当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷.
所以 图象大致如图所示：
所以方程 只有一个实根时，实数 的取值范围为 . 12分
22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.
【试题解析】解： (1) 连接 是圆 的两条切线， ， 又 为直径， ， . 5分
(2)由 ， ， ∽ ，
， . 10分
23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.
【试题解析】解：（1）圆 的参数方程为 （ 为参数）
所以普通方程为 . 2分
圆 的极坐标方程： . 5分
（2）点 到直线 的距离为 7分
的面积
所以 面积的最大值为 10分
24. 【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.
【试题解析】解：（1）证明： .
因为 都是正数，所以 .
又因为 ，所以 .
于是 ,即
所以 ； 5分
（2）证明：因为 ，所以 . ①
同理 . ② . ③
①②③相加得
从而 .
由 都是正数，得 ，因此 . 10分
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