北京市西城区2015年高三一模试卷
数 学（文科） 2015.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合 ，集合 ，若 ，则实数 的范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．复数 满足 ，则在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
3．关于函数 和 ，下列说法中正确的是（ ）
（A）都是奇函数 （B）都是偶函数
（C）函数 的值域为 （D）函数 的值域为
4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为______.
（A）
（B）
（C）
（D）
5. 设 分别为直线 和圆 上的点，则 的最小值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．设函数 的定义域为 ，则“ ， ”是“函数 为增函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）
（A）2枝玫瑰的价格高 （B）3枝康乃馨的价格高
（C）价格相同 （D）不确定
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 已知平面向量 满足 ， ，那么 ____.
10．函数 的最小正周期是____.
11．在区间 上随机取一个实数x，则x使不等式 成立的概率为____.
12．已知双曲线C： 的一个焦点是抛物线 的焦点，且双曲线 C的离心率为 ，那么双曲线C的方程为____；渐近线方程是____.
13. 设函数 则 ____；函数 的极小值是____.
14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：
奖品
收费(元／件)
工厂 一等奖奖品 二等奖奖品
甲 500 400
乙 800 600
则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在 中， ， ， ，点 在线段 上，且 .
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求 的值.
16．（本小题满分13分）
已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 及 ；
（Ⅱ）若 （ ）成等比数列，求 的最小值．
17．（本小题满分14分）
如图，在五面体 中，四边形 为正方形， ，
平面 平面 ，且 , ，点G是EF的中点.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若点 在线段 上，且 ，求证： //平面 ；
（Ⅲ）已知空间中有一点O到 五点的距离相等，请指出点 的位置. (只需写出结论)
18．（本小题满分13分）
2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）
乘公共电汽车方案 10公里（含）内2元；
10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.
乘坐地铁方案（不含机场线） 6公里（含）内3元；
6公里至12公里（含）4元；
12公里至22公里（含）5元；
22公里至32公里（含）6元；
32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；
（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这120人中分层抽样所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；
（Ⅲ）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．(只需写出结论)
19．（本小题满分14分）
设点 为椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，已知椭圆 的离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设过右焦点 的直线 与椭圆相交于 ， 两点，记 三条边所在直线的斜率的乘积为 ，求 的最大值.
20．（本小题满分13分）
设 ，函数 ，函数 ， .
（Ⅰ）判断函数 在区间 上是否为单调函数，并说明理由；
（Ⅱ）若当 时，对任意的 ， 都有 成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，若存在直线 （ ），使得曲线 与曲线 分别位于直线 的两侧，写出 的所有可能取值. (只需写出结论)
北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学（文科） 2015.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．C 3．C 4．B
5．A 6．B 7．D 8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10．
11． 12．
13． 14．
注：第12，13题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为 ， ， ，
所以 ， ， ， ……………… 3分
又因为 ，所以 ， . ……………… 4分
在 中，由余弦定理，
得 ……………… 7分
，
所以 . ……………… 9分
（Ⅱ）在 中，由正弦定理，得 ，
所以 ， ……………… 12分
所以 . ……………… 13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设公差为 ，
由题意，得 ……………… 4分
解得 ， ， …………………5分
所以 ， ………………… 6分
． ………………… 7分
（Ⅱ）解：因为 成等比数列，
所以 ， ………………… 9分
即 ， ………………… 10分
化简，得 ， ………………… 11分
考察函数 ，知 在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
所以当 时， 有最小值6． ……………… 13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为 ，点G是EF的中点，
所以 . …………………1分
又因为 ，
所以 . …………………2分
因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 . …………………4分
因为 平面 ，
所以 . ………………5分
（Ⅱ）证明：如图，过点 作 // ，且交 于点 ，连结 ，
因为 ，所以 ， ………………6分
因为 ，点G是EF的中点，
所以 ，
又因为 ，四边形ABCD为正方形，
所以 // ， .
所以四边形 是平行四边形.
所以 . ……………8分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 . ………………11分
（Ⅲ）解：点 为线段 的中点. ………………14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分
由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为 ， ， （人）.
所以票价小于5元的有 （人）． ………………2分
故120人中票价小于5元的频率是 ．
所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率 ． ………………4分
（Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， ………………5分
由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为 ，
则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. ………6分
记票价为3元的同学为 ，票价为4元的同学为 ，票价为5元的同学为 ，
从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是： ，
,
. ………………8分
其中事件 的结果有4种，它们是： . ………9分
所以这2人的票价和恰好为8元的概率为 . ……………… 10分
（Ⅲ）解： ． ………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设 ，由题意，得 ，
所以 ， . …………………2分
则椭圆方程为 ，
又点 在椭圆上，
所以 ，解得 ，
故椭圆方程为 . ……………… 5分
（Ⅱ）解：由题意，直线 的斜率存在，右焦点 ， ……………… 6分
设直线 的方程为 ，与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， ……… 7分
由 消去 ，
得 . ……………… 8分
由题意，可知 ，则有 ， ， ……… 9分
所以直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， ………… 10分
所以
. ……………… 12分
即 ，
所以当 时， 三条边所在直线的斜率的乘积 有最大值 . ……14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：结论：函数 在区间 上不是单调函数. …………………1分
求导，得 ， …………………2分
令 ，解得 .
当 变化时， 与 的变化如下表所示：
0
↗ ↘
所以函数 在区间 上为单调递增，区间 上为单调递减.
所以函数 在区间 上不是单调函数. …………………4分
（Ⅱ）解：当 时，函数 ， ， .
由题意，若对任意的 ， 都有 恒成立，
只需当 时， . …………………5分
因为 .
令 ，解得 .
当 变化时， 与 的变化如下表所示：
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