北京市西城区2015 年高三一模试卷
数学（理科） 2015.4
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至6 页，共150 分。考试时长
120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答
题纸一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40 分）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
1．设集合 A ={0，1}，集合B ={x | x > a}，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a≥1 C．a≥0 D．a≤0
2．复数z 满足z ⋅ i = 3 − i，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在极坐标系中，曲线ρ = 2cosθ 是（ ）
A．过极点的直线 B．半径为2 的圆
C．半于极点对称的图形 D．关于极轴对称的图形
4．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5． 设函数 f (x)的定义域为R，则“∀x∈R，f (x +1) > f (x) ”是“函数 f (x)为增函数”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是 ( )
7． 已知6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而4 枝玫瑰与4 枝康乃馨的价格之
和小于20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( )
A．2 枝玫瑰的价格高 B．3 枝康乃馨的价格高
C．价格相同 D．不确定
8． 已知抛物线 所围成的封闭曲线如图所示，给定点 A(0，a)，若
在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 ( )
A．(1，3) B．(2，4) C．（ ，3） D．（ ，3）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9． 已知平面向量a , b满足a = (1, −1), (a + b) ⊥ (a − b),那么｜b｜＝ .
10．已知双曲线 的一个焦点是抛物线 y2 = 8x的焦点，且双曲线C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 .
11．在△ABC 中，角 A, B, C所对的边分别为a , b , c ,若
则a = .
12．若数列an满足a1 −2，且对于任意的m, n N＊，都有 , 则 ；
数列 an 前10 项的和S10 .
13．某种产品的加工需要 A, B, C , D, E五道工艺，其中 A必须在D的前面完成（不一定相
邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间， B 与C 必须相
邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种. （用数字作答）
14．如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为Fx，
则函数Fx的单调增区间是 ；最大值为 .
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（本小题满分13 分）
设函数
（Ⅰ）当 ， 时，求函数 f (x)的值域；
（Ⅱ）已知函数 y = f (x)的图象与直线 y =1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．
16．（本小题满分13 分）
2014 年12 月28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价．具体如下表．（不
考虑公交卡折扣情况）
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭出站的乘客中随机选出120 人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此
人乘坐地铁的票价小于5 元的概率；
（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2 人，记X 为这2
人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车
所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s 公里，
试写出s 的取值范围．（只需写出结论）
17．（本小题满分14 分）
如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，EF∥AD ，平面 ADEF ⊥
平面 ABCD，且BC = 2EF ， AE = AF ，点G 是EF 的中点。
（1）证明： AG ⊥平面ABCD 。
（2）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为 ，求AG 的长。
（3）判断线段AC 上是否存在一点M ，使MG∥平面ABF ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。
18．（本小题满分13 分）
设n∈N*，函数 ，函数 ，x∈(0，+∞)，
（1）当n =1时，写出函数 y = f (x) −1零点个数，并说明理由；
（2）若曲线 y = f (x)与曲线 y = g(x)分别位于直线l : y =1的两侧，求n的所有可能取值。
19．（本小题满分14 分）
设F 1 ，F 2分别为椭圆 的左、右焦点，点P（1， ） 在椭圆E 上，且点
P 和F1 关于点C（0， ） 对称。
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A，B两点，过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于
另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l 的方
程；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分13 分）
已知点列 (k∈N*，k≥2)满足P 1（1，1）， 中有且只有一个成立．
⑴写出满足k = 4且P 4（1，1）的所有点列；
⑵证明：对于任意给定的k (k∈N*，k≥2)，不存在点列T ，使得 ；
⑶当k = 2n −1且 时，求 的最大值．
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