上海市黄浦区2015年高考模拟考
数学试卷(文理合卷)
(2015年4月21日)
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数 的定义域是 ．
2．函数 的单调递减区间是 ．
3．已知集合 ，若 ，则正实数 的取值范围是 ．
4．若二次函数 是定义域为 的偶函数，则函数 的反函数 = ．
5．已知角 的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在 轴的正半轴上，终边经过点 ，则 的值是 .
6．在△ 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，则 = ．
7．在等差数列 中，若 ， ，则正整数 ．
8．已知点 ，则直线 的点法向式方程是 ．
9．已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ．
10．已知 是球 的一条直径，点 是 上一点，若 ，平面 过点 且垂直 ，截得圆 ，当圆 的面积为 时，则球 的表面积是 ．
11．若二次函数 对一切 恒有 成立，且 ，则 ．
12．(理科)在平面直角坐标系中，直线 ： ，圆 ，则圆心到直线的距离是 ．
(文科) 设点 位于线性约束条件 所表示的区域内（含边界），则目标函数 的最大值是 ．
13．(理科)一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若用随机变量 表示随机摸一个球的得分，则随机变量 的数学期望 的值是 分．
(文科) 一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共10个，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 ，则从中任意摸出2个球得到至少1个黑球的概率是 ．
14．(理科)已知点 ，平面直角坐标系上的动点 满足 (其中 是坐标原点，且 )，若动点 组成的区域的面积为8，则 的最小值是 ．
(文科) 在 中， ，且 ，则 的数值是 ．
二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在空间中，下列命题正确的是 [答] ( )．
A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a∥b
B．空间不同的三点 确定一个平面
C．如果直线l//平面 且 //平面 ，那么
D．若直线 与平面 没有公共点，则直线 //平面
16．设实数 均不为0，则“ 成立”是“关于 的不等式 与 的解集相同”的 [答] ( )．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
17．若复数 同时满足 ， ，则 ( 是虚数单位， 是 的共轭复数) [答] ( )．
A． B． C． D．
18．已知数列 共有5项，满足 ，且对任意 ，有 仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：
(1) ；(2) ；(3)数列 是等差数列；
(4)集合 中共有9个元素．
则其中真命题的序号是 [答]( )．
．(1)、(2)、(3)、(4) ．(1)、(4) ．(2)、(3) ．(1)、(3)、(4)
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在长方体 中， ， ，过 、 、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体 ．
(理科)(1) 若 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
(2)求点D到平面 的距离 ．
（文科）(1) 求几何体 的体积，并画出该几何体的左视图( 平行主视图投影所在的平面)；
(2)求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
第19题图
20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
已知函数 ，函数 与函数 的图像关于原点对称．
(1)求 的解析式；
(2)(理科)求函数 在 上的单调递增区间．
(2)(文科) 当 时，求函数 的取值范围．
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
有一块铁皮零件，其形状是由边长为 的正方形截去一个三角形 所得的五边形 ，其中 ，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮 ，使得矩形相邻两边分别落在 上，另一顶点 落在边 或 边上．设 cm，矩形 的面积为 ．
(1)试求出矩形铁皮 的面积 关于 的函数解析式，
并写出定义域；
(2)试问如何截取(即 取何值时)，可使得到的矩形 的面积最大？
第21题图
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
（理科）已知数列 满足 ，对任意 都有 ．
(1)求数列 ( )的递推公式；
(2)数列 满足 ( )，求通项公式 ；
(3)设 ，问是否存在实数 使得数列 ( )是单调递增数列？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
（文科）
已知数列 满足 ，对任意 都有 ．
(1)求数列 ( )的通项公式 ；
(2)数列 满足 ( )，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，求数列 ( )中最小项的值．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
已知点 ，平面直角坐标系上的一个动点 满足 ．设动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)点 是曲线 上的任意一点， 为圆 的任意一条直径，求 的取值范围；
(3)（理科）已知点 是曲线 上的两个动点，若 ( 是坐标原点)，试证明：直线 与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．
（文科）已知点 是曲线 上的两个动点，若 ( 是坐标原点)，试证明：原点 到直线 的距离是定值．
黄浦区2015年高考模拟考数学试卷(文理合卷)
参考答案 (2015年4月21日)
一、填空题
1． ； 8． ；
2． ； 9． ；
3． ； 10． ；
4． ； 11． ；
5． ； 12．（理科） ；（文科） ；
6． ； 13．（理科） ；（文科） ；
7． ； 14．（理科） ．（文科） 或 ．
二、选择题 15．D 16．B 17．D 18．A
三、解答题
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．
（理科）
解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点 、 、 、 、 ．
由 是 中点，可得 .
于是， ．
设异面直线 与 所成的角为 ，则
．
因此，异面直线 与 所成的角为 ．
(2)设 是平面 的法向量．
∴
又 ，
∴ 取 ，可得 即平面 的一个法向量是 ．
∴
．
（文科）
解(1) ， ，
左视图如右图所示．
(2)依据题意，有 ，即 ．
∴ 就是异面直线 与 所成的角．
又 ，
∴ ．
∴异面直线 与 所成的角是 ．
20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
解(1)设点 是函数 的图像上任意一点，由题意可知，点 在 的
图像上，
于是有 ．
所以， ， ．
（理科）
(2)由(1)可知， ，记 ．
由 ，解得 ，
则函数 在形如 的区间上单调递增.
结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数 只能是0和1．
令 得 ； 时，得 .
所以， ， ．
于是，函数 在 上的单调递增区间是 和 ．
（文科）
(2)由(1)可知， ．
又 ，
所以， ．
考察正弦函数 的图像，可知， ， ．
于是， ．
所以，当 时，函数 的取值范围是 ．
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解(1)依据题意并结合图形，可知：
当点 在线段 上，即 时， ；
当点 在线段 上，即 时，由 ，得 ．
于是， ．
所以， 定义域 ．
(2)由(1)知，当 时， ；
当 时，
，当且仅当 时，等号成立．
因此， 的最大值为 ．
答：先在 上截取线段 ，然后过点 作 的垂线交 于点 ，再过点 作 的平行线交 于点 ，最后沿 与 截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为 ．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
（理科）
解(1) 对任意 都有 成立，
∴令 ，得 ．
∴数列 ( )的递推公式是
(2)由(1)可知，数列 ( )是首项和公比都为 的等比数列，于是 ．
由 ( )，得
( )．
故 ．
当 时， ．
所以
(3) ∵ ，
∴当 时， ，
，
依据题意，有 ，即 ．
当 为大于或等于4的偶数时，有 恒成立，又 随 增大而增大，则
，故 的取值范围为 ；
当 为大于或等于3的奇数时，有 恒成立，故 的取值范围为 ；
当 时，由 ，得 ．
综上可得，所求 的取值范围是 ．
（文科）
解(1) 对任意 都有 成立， ，
∴令 ，得 ．
∴数列 ( )是首项和公比都为 的等比数列．
∴ ．
(2) 由 ( )，得
( )．
故 ．
当 时， ．
于是，
当 时， ；
当 时，
又 时， ，
综上，有
(3) ， ，
∴ ， ．
∴数列 ( )是单调递增数列，即数列 中数值最小的项是 ，其值为3．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
解(1)依据题意，动点 满足 .
又 ，
因此，动点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，且 ．
所以，所求曲线 的轨迹方程是 ．
(2) 设 是曲线 上任一点．依据题意，可得 ．
是直径，
．又 ，
＝ ．
由 ，可得 ，即 ．
．
的取值范围是 ．
(另解 ：结合椭圆和圆的位置关系，有 (当且仅当 共线时，等号成立)，于是有 ．)
（理科）
(3)证明 因 是曲线 上满足 的两个动点，由曲线 关于原点对称，可知直线 也关于原点对称．若直线 与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线 的距离( )是定值即可．
设 ，点 ，则
．
利用面积相等，有 ，于是 ．
又 两点在曲线 上，故 可得
因此， ．
所以， ，即 为定值 ．
所以，直线 总与定圆相切，且定圆的方程为： ．
（文科）
(3)证明 设原点到直线 的距离为 ，且 是曲线 上满足 的两个动点．
若点 在坐标轴上，则点 也在坐标轴上，有 ，即 ．
若点 不在坐标轴上，可设 ．
由 得
设点 ，同理可得，
于是， ， ， ．
利用 ，得 ．
综合 可知，总有 ，即原点 到直线 的距离为定值 ．
(方法二：根据曲线 关于原点和坐标轴都对称的特点，以及 ，求出 的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)
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