惠州市2015届高三模拟考试
数 学 试 题 （理科） 2015.04
本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．
参考公式：锥柱体的体积公式： ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式： ， ．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知 为实数， 为虚数单位，若 为实数，则 ( )
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( )
A． B． C． D．
4．若变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值等于 ( )
A．7 B．8 C．10 D．11
5．在 中， ， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
6．下列命题的说法 错误 的是 ( )
A．若复合命题 为假命题，则 都是假命题．
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件．
C．对于命题 则 ．
D．命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”．
7．多面体 的底面 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )
A． B． C． D．
8．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数 ，则 ( )
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中13题第一问2分，第二问3分。）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．设 ，若 ，则 的最小值为__________．
10．计算积分 __________．
平均气温 （°C）
18 13 10 －1
用电量 （度）
25 35 37 63
11．某单位为了了解用电量 （度）与当天平均气温 （°C）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如右表）。由数据运用最小二乘法得线性回归方程 ，则 __________．
12．如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 值为__________．
13．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第 列从下到上第 行的数记为 ，
如 ， ，则 __________； __________．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．
14．（极坐标与参数方程选做题）若点 在以点 为焦点的抛物线 （ 为参数）上，则 等于______．
15．（几何证明选讲选做题）如图， 与圆 相切于 ， 为圆 的割线，并且不过圆心 ，已知 ， ， ，则圆 的半径等于__________．
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数 的最小正周期为 ，
且 ．
（1）求 的表达式；
（2）设 ， ， ，求 的值．
17．（本小题满分12分）
一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．
（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；
（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了 次才停止取出卡片，求 的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，平面 ⊥底面 ， 为 的中点， 是棱 上的点， ， ， ．
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）若二面角 为 ，设 ，
试确定 的值．
19．（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ， = + + +……+ ．
试比较 与 的大小．
20．（本小题满分14分）
在直角坐标系 中，曲线 上的点均在圆 外，且对 上任意一点 ， 到直线 的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 和 ．证明：当 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值．
21．（本小题满分14分）
已知 ，函数 ＝ ．
（1）记 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式；
（2）是否存在 ，使函数 在区间 内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由．
惠州市2015届高三模拟考试
数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C B A C D
1．【解析】由集合的包含关系可知 ，故选A．
2．【解析】 ，所以 ，故选B．
3．【解析】由选项可知，A选项 单调递增（无极值），C、D选项不是奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B．
4．【解析】平面区域如图所示，所以 ，故选C．
5．【解析】 ，又由余弦定理知 ．
6．【解析】若 为假命题，则 至少有一个为假命题．故选A．
7．【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得 ，故选C．
8．【解析】依题意得： ，由 ，可得 ，而 ，即函数 的拐点为 ，即 ，
所以
所以所求为 ，故选D．
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中13题第一问2分第二问3分．
9．4 10．1 11．60 12． 13． 14． 15．
9．【解析】 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
10．【解析】 ．
11．【解析】 ， ，样本中心为 ，
回归直线经过样本中心，所以 ．
12．【解析】由程序框图知 ，
又 以及周期的性质，化简后得
．
13．【解析】由题意， ，
∴ ，∴ ．
14．【解析】抛物线为 ， 为 到准线 的距离，即距离为 ．
15．【解析】由圆的性质PA =PC•PB，得PB=12，连接OA并反向延长
交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，
DB=8，记圆的半径为R，由于ED•DA=CD•DB
因此 ，解得R=7．
三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
解：(1)依题意得 ，∴ ， ……2分
由f(2π)=2，得 ，即 ，∴A=4， ……4分
∴ . ……5分
(2)由 ，得 ，
即 ，∴ ， ……6分
又∵ ，∴ ， ……7分
由 ，得 ，
即 ，∴ ， ……9分
又∵ ，∴ ， ……10分
cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ . ……12分
17．（本小题满分12分）
(本题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)
解: (1)记事件 为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ……1分
因为奇数加偶数可得奇数，所以
所以所得新数是奇数的概率等于 ． ……………4分
(2) 所有可能的取值为1,2,3,4, ……………5分
根据题意得
…………………9分
故 的分布列为
1 2 3 4
……………10分
． ………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．）
解答：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，…………………4分
∴BQ⊥平面PAD． …………………5分
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
证法二：AD∥BC，BC= AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ． …………………1分
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． …………………2分
∵PA=PD，∴PQ⊥AD． …………………3分
∵PQ∩BQ=Q ， …………………4分
∴AD⊥平面PBQ． …………………5分
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． …………………6分
（Ⅱ）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．……………7分
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为 ；……8分
， ， ， ．
设 ，则
， ……9分
,∴ ，………10分
在平面MBQ中， ， ，
∴平面MBQ法向量为 ．……12分
∵二面角 为30°，∴ ，得 ……14分
法二：过点 作 // 交 于点 ，过 作 ⊥ 交于点 ，连接 ，
因为 面 ,所以 ⊥面 ，由三垂线定理知 ⊥ ，
则 为二面角 的平面角。…………9分（没有证明扣2分）
设 ，则 ， ，
， ……………10分
⊥ ， ⊥ ，且三线都共面，所以 //
， …………11分
在 中 ，………13分
解得 ……………14分
19．（本小题满分14分）
解析：（1）由 ， …………………1分
由 ，其中
于是 …………………3分
整理得 ， …………………4分
所以数列 是首项及公比均为 的等比数列. …………………5分
…………………6分
（2）由（1）得
于是 ………8分
…………………9分
又 ，问题转化为比较 与 的大小，即 与 的大小
设 …………………10分
当 时， ，∴当 时 单调递增，
∴当 时， ，而 ，
∴当 时， …………………12分
经检验 =1，2，3时，仍有 …………………13分
因此，对任意正整数 ，都有 即 …………………14分
20．（本小题满分14分）
（本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.）
（Ⅰ）解法1 ：设 的坐标为 ，由已知得 ，……1分
易知圆 上的点位于直线 的右侧.于是 ，所以 .
化简得曲线 的方程为 . …………………4分
解法2 ： 曲线 上任意一点M到圆心 的距离等于它到直线 的距离，
所以曲线 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，…………… 2分
故其方程为 . …………………4分
（Ⅱ）当点 在直线 上运动时，P的坐标为 ，又 ，则过 且与圆
相切得直线的斜率 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为 ， 即于是
整理得 ① …………………6分
设过 所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程①的两个实根，
故 ② …………………7分
由 得 ③…………………8分
设四点 的纵坐标分别为 ，则是方程③的两个实根，
所以 ④…………………9分
同理可得 ⑤…………………10分
于是由②，④，⑤三式得
.…………………13分
所以，当 在直线 上运动时，四点 的纵坐标之积为定值6400. …14分
21．（本小题满分14分）
解：(1)当 时， ＝ ；
当 时， ＝ . …………………2分
因此，当 时， ＝ ＜0， 在 上单调递减； ……3分
当 时， ＝ ＞0， 在 上单调递增．………4分
①若 ，则 在 上单调递减， ＝ ＝ . …………………5分
②若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ＝ ， ．
而 － ＝ ， …………………6分
故当 时， ＝ ＝ ；
当 时， ＝ ＝ . …………………8分
综上所述， ＝ …………………9分
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递减，故不满足要求．…………10分
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
若存在 ， ∈ ( ＜ )，使曲线y＝ 在 ， 两点处的切线互相垂直，则 ∈ ， ∈ ，且 ＝－1，
即 ，亦即 ＝ .(*) …………………11分
由 ∈ ， ∈ 得 ∈ ， ∈ .
故(*)成立等价于集合A＝ 与集合B＝ 的交集非空．
因为 ＜ ，所以当且仅当 ，即 时，A∩B≠ .……13分
综上所述，存在 使函数 在区间(0,4)内的图象上存在两点，
在该两点处的切线互相垂直，且 的取值范围是 . …………………14分
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