上海市普陀区2015高三数学二模试卷
一、填空题（每小题4分，共56分）
1．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
2．函数 的最小正周期为 ．
3．在等差数列 中，已知 则 ．
4．若 ， 是直线 的倾斜角，则 = ．（用 的反正切表示）
5．设 （i为虚数单位），则 ．
6．直角坐标系 内有点A（2，1），B（0，2），将线段 绕直线 旋转一周，所得到几何体的体积为 ．
7.已知平面向量 ，若 ，则
8．设 ，行列式 中第3行第2列的代数余子式记作 ，函数 的反函数经过点 ，则a= ．
9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为 ， ，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为 ．
10．已知 是椭圆 上的一点， 为椭圆的左、右焦点，则 的最小值为 ．
11．已知 是等差数列，设 ．某学生设计了一个求 的算法框图（如图），图中空白处理框中是用 的表达式对 赋值，则空白处理框中应填入： ←____________．
12．不等式 对一切非零实数 均成立，则实数 的范围为
13．平面直角坐标系 中， 为坐标原点.定义 、 两点之间的“直角距离”为 ，已知点 ，点M是直线 上的动点， 的最小值为 ．
14．当 为正整数时，用 表示 的最大奇因数，如 ，设 ，则数列 的前 项和的表达式为 ．
二、选择题（每小题5分，共20分）
15．已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，以下命题正确的是（ ）
（A） 若 , , 则 ； （B）若 , , 则 ；
（C）若 , , 则 ； （D） 若 , , 则 ；
16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ）
（A）笛卡儿—解析几何； （B）帕斯卡—概率论；（C）康托尔—集合论；（D）祖暅之—复数论；
17．已知各项均不为零的数列 ,定义向量 ， ， . 下列命题中真命题是（ ）
(A) 若 总有 成立，则数列 是等差数列(B) 若 总有 成立，则数列 是等比数列
(C) 若 总有 成立，则数列 是等差数列(D) 若 总有 成立，则数列 是等比数列
18．方程 的正根从小到大地依次排列为 ，则正确的结论为（ ）
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）
19．已知向量 （ 为常数且 ），函数 在 上的最大值为 ．（1）求实数 的值；（2）把函数 的图象向右平移 个单位，可得函数 的图象，若 在 上为增函数，求 的最大值．
20．已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， 是 的中点， 是 的中点，点 在 上，且满足 （1）证明： ；（2）当 取何值时，直线 与平面 所成的角 最大？并求该角的最大值的正切值。
21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本 元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达式 ;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？
22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．（1）已知点 ，求使 面积为 时，椭圆 的直径 所在的直线方程；（2）若过椭圆 的中心作斜率为 的直线交椭圆于 两点，且椭圆的左、右焦点分别为 ，若以 为圆心， 长度为半径作⊙ ，问是否存在定圆⊙ ，使得⊙ 恒与⊙ 相切？若存在，求出⊙ 的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆 的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 ．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．
23．已知数列 中， ， （1）试求 的值，使数列 是一个常数列；
（2）试求 的取值范围，使得数列 是单调增数列；（3）若 不为常数列，设 ， 为数列 的前 项和，请你写出 的一个值， 使得 恒成立，并说明理由。
上海市普陀区2015高三数学二模试卷答案
一、填空题（每小题4分，共56分）
1．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
2．函数 的最小正周期为 ．
3．在等差数列 中，已知 则 ．
4．若 ， 是直线 的倾斜角，则 = ．（用 的反正切表示）
5．设 （i为虚数单位），则 ．
6．直角坐标系 内有点A（2，1），B（0，2），将线段 绕直线 旋转一周，所得到几何体的体积为 ．
7.已知平面向量 ，若 ，则
8．设 ，行列式 中第3行第2列的代数余子式记作 ，函数 的反函数经过点 ，则 ．
9．某学生参加3门课程的考试。假设该学生第一门、第二门及第三门课程取得合格水平的概率依次为 ， ，且不同课程是否取得合格水平相互独立。则该生只取得一门课程合格的概率为 ．
10．已知 是椭圆 上的一点， 为椭圆的左、右焦点，则 的最小值为 ．
11．已知 是等差数列，设 ．某学生设计了一个求 的算法框图（如图），图中空白处理框中是用 的表达式对 赋值，则空白处理框中应填入： ←______．
12．不等式 对一切非零实数 均成立，则实数 的范围为
13．平面直角坐标系 中， 为坐标原点.定义 、 两点之间的“直角距离”为 ，已知点 ，点M是直线 上的动点， 的最小值为 ．
14．当 为正整数时，用 表示 的最大奇因数，如 ，设 ，则数列 的前 项和的表达式为 ．
二、选择题（每小题5分，共20分）
15．已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，以下命题正确的是（ ）
（A） 若 , , 则 ； （B）若 , , 则 ；
（C）若 , , 则 ； （D） 若 , , 则 ；
16．以下是科学家与之相研究的领域不匹配的是（ ）
（A）笛卡儿—解析几何；（B）帕斯卡—概率论；（C）康托尔—集合论； （D）祖暅之—复数论；
17．已知各项均不为零的数列 ,定义向量 ， ， . 下列命题中真命题是（ ）
(A) 若 总有 成立，则数列 是等差数列
(B) 若 总有 成立，则数列 是等比数列
(C) 若 总有 成立，则数列 是等差数列
(D) 若 总有 成立，则数列 是等比数列
18．方程 的正根从小到大地依次排列为 ，则正确的结论为（ ）
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）
19．已知向量 （ 为常数且 ），函数 在 上的最大值为 ．（1）求实数 的值； （2）把函数 的图象向右平移 个单位，可得函数 的图象，若 在 上为增函数，求 的最大值．
20．已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， 是 的中点， 是 的中点，点 在 上，且满足 （1）证明： ；（2）当 取何值时，直线 与平面 所成的角 最大？并求该角的最大值的正切值。
21．近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元。从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1万件。设第n年每件小挂件的生产成本 元，若玉制产品的销售价格不变，第n年的年利润为万元（今年为第1年）（1）求利润的表达式 ;（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？
22．存在对称中心的曲线叫做有心曲线．显然圆、椭圆和双曲线都是有心曲线．若有心曲线上两点的连线段过中心，则该线段叫做有心曲线的直径．（1）已知点 ，求使 面积为 时，椭圆 的直径 所在的直线方程；（2）若过椭圆 的中心作斜率为 的直线交椭圆于 两点，且椭圆的左、右焦点分别为 ，若以 为圆心， 长度为半径作⊙ ，问是否存在定圆⊙ ，使得⊙ 恒与⊙ 相切？若存在，求出⊙ 的方程。若不存在，请说明理由。（3）定理：若过圆 的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 ．请对上述定理进行推广．说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分．
23．已知数列 中， ， （1）试求 的值，使数列 是一个常数列；
（2）试求 的取值范围，使得数列 是单调增数列；（3）若 不为常数列，设 ， 为数列 的前 项和，请你写出 的一个值， 使得 恒成立，并说明理由。
1、 2、 3、42 4、 5、 6、 7、 8、
9、 10、 11、 12、 13、
14、 15、C 16、D 17、A 18、B
解：（1）
因为函数 在 上的最大值为 ，所以 故
（2）由（1）知： ，把函数 的图象向右平移 个单位，可得函数 又 在 上为增函数， 的周期 即
所以 的最大值为2
解：(1)以 分别为 轴，建立空间直角坐标系 则 （2）显然平面 的一个法向量为 则 （*）
于是问题转化为二次函数求最值，而 ，当 最大时， 最大，即 最大 ，由（*）式：解：（1） （2） ，故 ，当 时， 最大，最高利润为520万元。
时， 解：（1）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 ， 则
解 得 故直线 的方程为
（2）存在⊙ ： 与⊙ 恒相切，圆心 为椭圆的左焦点 由椭圆的定义知， 两圆相内切。
（3）根据结论的一般性程度给与不同的评分．（问题1-4层）过圆 的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 ．
②若过圆 的一条直径的两个端点与圆上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 ．③过椭圆 的一条直径的两个端点与椭圆任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 ．④过有心圆锥曲线 的一条直径的两个端点与曲线上任意一点（不同于直径两端点）的连线所在直线的斜率均存在，那么此两斜率之积为定值 ．证明：设曲线上任一直径 为异于 的曲线上任一点。
设 ，因为 在曲线上，所以
解：（1）由 及 得 时， 为常数数列。
(2) =
与 同号。要使 对任意正整数n都成立，只须 即 解得 当 时， 对任何正整数 成立。
（3）选择 时，由（2）的结论知
又 解得 故
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