2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合 ， ，则 ________．
2．抛物线 的焦点到准线的距离是______________．
3．若 ，其中 、 ， 是虚数单位，则 _________．
4．已知函数 ，且有 ，若 且 ，则 的最大值是_______．
5．设等差数列 满足 ， ， 的前 项和 的最大值为 ，则 =__________．
6．若 （ ），且 ，则
_______________．
7. 方程 在 上的解为_____________．
8. 设变量 满足约束条件 则 的最大值为_____________．
9. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，
则这个正三棱柱的表面积为__________．
10．已知定义在 上的单调函数 的图像经过点 、 ，若函数 的
反函数为 ，则不等式 的解集为 ．
11. 现有 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 张.从中任取 张,要求这
张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________．
12．已知函数 ，若 ，关于 的方程 有三个不相等的实
数解，则 的取值范围是__________．
13．在平面直角坐标系 中，点列 ， ，…， ，…，满
足 若 ，则 _______．
14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
，若 ，则 ____________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在△ 中，“ ”是“ ”的……………………………………（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知平面直角坐标系内的两个向量 ， ，且平面内的任一向
量 都可以唯一的表示成 为实数），则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．设双曲线 （ ， ）的虚轴长为 ，焦距为 ，则双曲线的渐
近线方程为……………………………………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
18．在四棱锥 中， ， 分别为侧棱 ， 的中点，则四面体 的体积与四棱锥 的体积之比为……………………………………………（ ）
A． B． C． D．
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在△ 中，已知 ，外接圆半径 ．
（1）求角 的大小；
（2）若角 ，求△ 面积的大小.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥 的底面 为菱形， 平面 ， ， ， 、 分别为 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 与时刻 （时）的关系为 ， ，其中 是与气象有关的参数，且 ．若用每天 的最大值为当天的综合污染指数，并记作 ．
（1）令 ， ，求 的取值范围；
（2）求 的表达式，并规定当 时为综合污染指数不超标，求当 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆 （ ）的焦距为 ，且椭圆 的短轴的一个端点与左、右焦点 、 构成等边三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆上 上任意一点，求 的最大值与最小值；
（3）试问在 轴上是否存在一点 ，使得对于椭圆上任意一点 ， 到 的距离与 到直线 的距离之比为定值．若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数 ，其中 ．定义数列 如下： ， , ．
（1）当 时，求 ， ， 的值；
（2）是否存在实数 ，使 ， ， 构成公差不为 的等差数列？若存在，请求出实数 的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：当 时，总能找到 ，使得 ．
2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文）参考答案与评分标准
一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）
1． 或 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11．
12． 13． 14．
二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
15．B 16．D 17．C 18．C
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
（1）由题意， ，
因为 ，所以 ，故 ，……（2分）
解得 （舍），或 ． ………………（5分）
所以， ． ………………（6分）
（2）由正弦定理， ，得 ，所以 ． ………（2分）
因为 ，由 ，得 ， …………（4分）
又 ，所以△ 的面积 ． …………（6分）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）连结 ，由已知得△ 与△ 都是正三角形，
所以， ， ， ………………（1分）
因为 ∥ ，所以 ，……………（2分）
又 平面 ，所以 ，……（4分）
因为 ，所以 平面 ．…（6分）
（2）因为 ，……（2分）
且 ， …………………………（4分）
所以， ． ………………（8分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
（1）当 时， ； ………………（2分）
当 时，因为 ，所以 ， ……………………（4分）
即 的取值范围是 ． ……………………………………（5分）
（2）当 时，由（1），令 ，则 ， …………（1分）
所以 ………………（3分）
于是， 在 时是关于 的减函数，在 时是增函数，
因为 ， ，由 ，
所以，当 时， ；
当 时， ，
即 ………………………………（6分）
由 ，解得 ． ………………………………（8分）
所以，当 时，综合污染指数不超标． …………………………（9分）
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）已知， ， ， ……………………（2分）
所以 ， ……………………………………（3分）
所以椭圆的标准方程为 ． ……………………（4分）
（2） ， ，设 ，则 ， ， （ ）， ……………………（2分）
因为 ，所以， ，…（4分）
由 ，得 的最大值为 ，最小值为 ． …………………………（6分）
（3）假设存在点 ，设 ， 到 的距离与 到直线 的距离之比为定值 ，则有 ， ………………………………………………（1分）
整理得 ， ……………………………………（2分）
由 ，得 对任意的 都成立． ………………………………………………………………（3分）
令 ，
则由 得 ①
由 得 ②
由 ，得 ③
由①②③解得得 ， ． …………………………（5分）
所以，存在满足条件的点 ， 的坐标为 ． ………………………（6分）
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（1）因为 ，故 ， ………………………………（1分）
因为 ，所以 ，…………（2分）
， …………（3分）
． …………（4分）
（2）解法一：假设存在实数 ，使得 ， ， 构成公差不为 的等差数列．
则得到 ， ， ．…（2分）
因为 ， ， 成等差数列，所以 ， …………3分
所以， ，化简得 ，
解得 （舍）, ． …………………………………（5分）
经检验，此时 的公差不为0，
所以存在 ，使得 ， ， 构成公差不为 的等差数列． …………（6分）
方法二：因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
即 ， …………………………………………（2分）
所以 ，即 ．
因为公差 ，故 ，所以 解得 ． ………（5分）
经检验，此时 ， ， 的公差不为0．
所以存在 ，使得 ， ， 构成公差不为 的等差数列． …………（6分）
（3）因为 , …………（2分）
又 , 所以令 …………………………（3分）
由 ， ，……， ，
将上述不等式全部相加得 ，即 ， …………………（5分）
因此要使 成立，只需 ，
所以，只要取正整数 ，就有 ．
综上，当 时，总能找到 ，使得 ．
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